L'oscillateur harmonique est le modèle fondamental de la physique ondulatoire et vibratoire. Cet outil simule et trace en temps réel le mouvement d'un système masse-ressort horizontal soumis à un amortissement et à une force excitatrice sinusoïdale externe. Réglez la fréquence de forçage pour découvrir le phénomène spectaculaire de résonance !
Un oscillateur harmonique est un système idéalisé qui évolue périodiquement autour d'une position d'équilibre stable. Le modèle par excellence est une masse $m$ attachée à un ressort de raideur $k$.
Dans la réalité physique, les forces de frottement dissipent l'énergie du système : c'est l'amortissement. Pour contrer cet arrêt inéluctable ou pour étudier la réponse du système, on peut lui appliquer une force extérieure périodique (forçage).
En appliquant la deuxième loi de Newton ($\sum \vec{F} = m\vec{a}$), on obtient l'équation maîtresse du mouvement :
$$m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + k x = F_0 \cos(\omega t)$$
La fréquence propre (naturelle) du système non amorti est donnée par $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.
L'énergie transférée au système par la force extérieure est maximale. L'amplitude des oscillations croît dramatiquement. C'est la résonance d'amplitude ! Dans les structures réelles (ponts, bâtiments, verre de cristal), une résonance non contrôlée peut mener à la destruction du système (comme la célèbre rupture du pont de Tacoma Narrows).
Testez par vous-même en cliquant sur le bouton "Résonance Auto" dans les paramètres !
L'équation du mouvement est une équation différentielle ordinaire (EDO) du second ordre. Pour la résoudre et générer l'animation, le script JavaScript sépare cette EDO en deux EDO du premier ordre, puis applique un algorithme d'intégration numérique appelé Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) à chaque image (à 60 FPS). C'est la méthode standard en physique numérique pour son excellent ratio précision/performance.
Selon la valeur du coefficient $c$ (amortissement), la réponse libre (sans forçage $F_0=0$) présente trois régimes distincts :
- Sous-critique : Oscillations dont l'amplitude décroît de façon exponentielle.
- Critique : Retour le plus rapide possible à l'équilibre sans osciller (dépassement). Utilisé dans les amortisseurs de voiture.
- Sur-critique : Retour très lent à la position d'équilibre, la friction étant trop importante.