Exercice 1: Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$. Calculer $u_5$.
Pour une suite arithmétique, la formule générale est $u_n = u_0 + n \cdot r$. Donc $u_5 = u_0 + 5 \cdot r = 3 + 5 \cdot 2 = 3 + 10 = 13$.
Exercice 2: Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Calculer $v_3$.
Pour une suite géométrique, la formule générale est $v_n = v_0 \cdot q^n$. Donc $v_3 = v_0 \cdot q^3 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.
Exercice 3: Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$. Si la suite converge, quelle est sa limite ?
Si la suite converge vers une limite $L$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = L$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$. En passant à la limite dans la relation de récurrence : $L = \frac{1}{2}L + 3$ $L - \frac{1}{2}L = 3$ $\frac{1}{2}L = 3$ $L = 6$.
Exercice 4: Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_1 = 1$ et de raison $r = 3$. (C'est-à-dire $S_{10} = u_1 + ... + u_{10}$)
La somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est $S_n = n \cdot \frac{u_1 + u_n}{2}$. D'abord, calculons $u_{10} = u_1 + (10-1)r = 1 + 9 \cdot 3 = 1 + 27 = 28$. Ensuite, $S_{10} = 10 \cdot \frac{1 + 28}{2} = 10 \cdot \frac{29}{2} = 5 \cdot 29 = 145$.
Exercice 5: Calculer la somme des 5 premiers termes de la suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_1 = 4$ et de raison $q = 2$. (C'est-à-dire $S_5 = v_1 + ... + v_5$)
La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique est $S_n = v_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$. $S_5 = 4 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 4 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 4 \cdot \frac{-31}{-1} = 4 \cdot 31 = 124$.
Exercice 6: Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 - 4n$. Déterminer le sens de variation de la suite pour $n \ge 2$. (Répondre par 'croissante' ou 'décroissante')
On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. $u_{n+1} = (n+1)^2 - 4(n+1) = n^2 + 2n + 1 - 4n - 4 = n^2 - 2n - 3$. $u_{n+1} - u_n = (n^2 - 2n - 3) - (n^2 - 4n) = n^2 - 2n - 3 - n^2 + 4n = 2n - 3$. Pour $n \ge 2$, $2n \ge 4$, donc $2n - 3 \ge 1 > 0$. Puisque $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite $(u_n)$ est croissante pour $n \ge 2$.
Exercice 7: Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{1}{n+1}$ pour $n \ge 0$. La suite est-elle minorée ? Si oui, par quelle valeur ? (Répondre par 'oui, valeur' ou 'non')
Pour tout $n \ge 0$, $n+1 > 0$, donc $u_n = \frac{1}{n+1} > 0$. La suite est donc minorée par 0. En fait, $u_n$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$, mais ne l'atteint jamais (elle est toujours strictement positive).