Exercice 1: Résoudre l'équation : $3x - 7 = 5x + 1$. (Répondre sous la forme 'x=valeur')
$3x - 7 = 5x + 1$ $3x - 5x = 1 + 7$ $-2x = 8$ $x = \frac{8}{-2}$ $x = -4$
Exercice 2: Résoudre l'équation : $x^2 - 5x + 6 = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' ou 'x=valeur' ou 'pas de solution', en ordre croissant si plusieurs solutions)
Il s'agit d'une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Ici, $a=1, b=-5, c=6$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ Les solutions sont $x=2$ et $x=3$.
Exercice 3: Résoudre l'équation : $e^{2x+1} = e^5$. (Répondre sous la forme 'x=valeur')
Puisque $e^A = e^B \iff A=B$, on a : $2x+1 = 5$ $2x = 5 - 1$ $2x = 4$ $x = \frac{4}{2}$ $x = 2$
Exercice 4: Résoudre l'équation : $\ln(x+2) = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur')
L'équation $\ln(A) = B \iff A = e^B$. On a : $x+2 = e^0$ $x+2 = 1$ $x = 1 - 2$ $x = -1$ Vérification du domaine de définition : $x+2 > 0 \implies -1+2 = 1 > 0$. La solution est valide.
Exercice 5: Résoudre l'équation : $x^2 + 4x + 5 = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' ou 'x=valeur' ou 'pas de solution')
Il s'agit d'une équation du second degré. $a=1, b=4, c=5$. Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$. Puisque $\Delta < 0$, il n'y a pas de solutions réelles.
Exercice 6: Résoudre l'équation : $\frac{2x+4}{x-1} = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur')
Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. $2x+4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$. Vérifions que le dénominateur n'est pas nul pour $x=-2$: $x-1 = -2-1 = -3 \ne 0$. Donc la solution est $x=-2$.
Exercice 7: Résoudre l'équation : $e^{x^2} = e^{3x-2}$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' ou 'x=valeur', en ordre croissant si plusieurs solutions)
Puisque $e^A = e^B \iff A=B$, on a : $x^2 = 3x - 2$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ C'est une équation du second degré. $a=1, b=-3, c=2$. Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Les solutions sont $x=1$ et $x=2$.