Exercice 1: Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1)$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
La limite d'un polynôme en l'infini est la limite de son terme de plus haut degré. $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$.
Exercice 2: Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to -\infty} (-2x^3 + x - 7)$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
La limite d'un polynôme en l'infini est la limite de son terme de plus haut degré. $\lim_{x \to -\infty} (-2x^3 + x - 7) = \lim_{x \to -\infty} -2x^3$. Lorsque $x \to -\infty$, $x^3 \to -\infty$, donc $-2x^3 \to -2 \cdot (-\infty) = +\infty$.
Exercice 3: Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-3}$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
La limite d'une fonction rationnelle en l'infini est la limite du rapport des termes de plus haut degré. $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x} = \lim_{x \to +\infty} 2 = 2$.
Exercice 4: Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
Lorsque $x$ tend vers $0$ par des valeurs positives ($x > 0$), $\frac{1}{x}$ tend vers $+\infty$.
Exercice 5: Calculer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 5 - \frac{1}{n}$ quand $n \to +\infty$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
Lorsque $n \to +\infty$, $\frac{1}{n}$ tend vers $0$. Donc $\lim_{n \to +\infty} (5 - \frac{1}{n}) = 5 - 0 = 5$.
Exercice 6: Calculer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 - 3n$ quand $n \to +\infty$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
La limite d'un polynôme en $n$ quand $n \to +\infty$ est la limite de son terme de plus haut degré. $\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 3n) = \lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$.
Exercice 7: Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
Il s'agit d'une forme indéterminée de type $\frac{0}{0}$. On peut factoriser le numérateur : $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$. Pour $x \ne 2$, on peut simplifier par $(x-2)$: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. Donc $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$.