Exercice 1: Pour tout entier $n \ge 1$, on définit la fonction $f_n(x) = x^n e^x$ sur $[0;1]$. On considère $F_1(x) = (x-1)e^x$. Vérifier que $F_1$ est une primitive de $f_1(x) = xe^x$. (Répondre par 'oui' ou 'non')
Pour vérifier que $F_1(x) = (x-1)e^x$ est une primitive de $f_1(x) = xe^x$, on doit dériver $F_1(x)$ et montrer que $F_1'(x) = f_1(x)$. $F_1'(x) = \frac{d}{dx}((x-1)e^x)$ On utilise la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$, avec $u(x) = x-1$ et $v(x) = e^x$. Donc $u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x$. $F_1'(x) = (1)e^x + (x-1)e^x$ $F_1'(x) = e^x + xe^x - e^x$ $F_1'(x) = xe^x$. C'est bien $f_1(x)$, donc $F_1$ est une primitive de $f_1$.
Exercice 2: On désigne par $(I_n)$ la suite définie pour tout entier $n \ge 1$ par $I_n = \int_{0}^{1} x^n e^x dx$. Calculer $I_1$. (Répondre avec une valeur numérique, utiliser 'e' pour la constante d'Euler si nécessaire, par exemple 'e-2')
D'après l'exercice précédent, une primitive de $f_1(x) = xe^x$ est $F_1(x) = (x-1)e^x$. $I_1 = \int_{0}^{1} xe^x dx = [ (x-1)e^x ]_{0}^{1}$ $I_1 = ((1-1)e^1) - ((0-1)e^0)$ $I_1 = (0 \cdot e) - (-1 \cdot 1)$ $I_1 = 0 - (-1) = 1$.
Exercice 3: À l'aide d'une intégration par parties, établir que pour tout $n \ge 1$, la relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ est de la forme $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$. (Répondre par 'oui' après avoir compris la démarche)
On utilise l'intégration par parties pour $I_{n+1} = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^x dx$. Posons $u(x) = x^{n+1}$ et $v'(x) = e^x$. Alors $u'(x) = (n+1)x^n$ et $v(x) = e^x$. La formule d'intégration par parties est $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$. $I_{n+1} = [ x^{n+1} e^x ]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (n+1)x^n e^x dx$ $I_{n+1} = (1^{n+1} e^1 - 0^{n+1} e^0) - (n+1) \int_{0}^{1} x^n e^x dx$ $I_{n+1} = (e - 0) - (n+1)I_n$ $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$. La relation est bien établie.
Exercice 4: Utiliser la relation de récurrence $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$ et la valeur de $I_1$ (calculée précédemment) pour calculer $I_2$. (Répondre avec une valeur numérique, utiliser 'e' pour la constante d'Euler si nécessaire, par exemple 'e-2')
On sait que $I_1 = 1$. En utilisant la relation $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$ pour $n=1$: $I_2 = e - (1+1)I_1$ $I_2 = e - 2I_1$ $I_2 = e - 2(1)$ $I_2 = e - 2$.
Exercice 5: En observant les premiers termes de la suite $(I_n)$ ($I_1 = 1, I_2 = e-2 \approx 0.718$), quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ quand $n \to +\infty$ ? (Répondre avec une valeur numérique, par exemple '0')
Les termes $I_n = \int_{0}^{1} x^n e^x dx$ représentent l'aire sous la courbe de $f_n(x) = x^n e^x$ sur $[0,1]$. Lorsque $n$ augmente, $x^n$ tend vers 0 très rapidement sur $[0,1[$ (et $e^x$ reste borné entre $e^0=1$ et $e^1=e$). On peut conjecturer que $I_n$ tend vers $0$ quand $n \to +\infty$.
Exercice 6: Montrer que pour tout $n \ge 1$, $0 \le I_n \le e \int_{0}^{1} x^n dx$. (Répondre par 'oui' après avoir compris la démarche)
Sur l'intervalle $[0, 1]$ : 1. $x^n \ge 0$ et $e^x \ge 0$, donc $x^n e^x \ge 0$. Par propriété de positivité de l'intégrale, $I_n = \int_{0}^{1} x^n e^x dx \ge 0$. 2. On sait que sur $[0, 1]$, la fonction $e^x$ est croissante, donc $e^x \le e^1 = e$. En multipliant par $x^n \ge 0$, on obtient $x^n e^x \le x^n e$. Par propriété d'intégration des inégalités : $\int_{0}^{1} x^n e^x dx \le \int_{0}^{1} e x^n dx$ $I_n \le e \int_{0}^{1} x^n dx$. Donc, $0 \le I_n \le e \int_{0}^{1} x^n dx$.
Exercice 7: En déduire la limite de la suite $(I_n)$ quand $n \to +\infty$. (Répondre avec une valeur numérique, par exemple '0')
On sait que $0 \le I_n \le e \int_{0}^{1} x^n dx$. Calculons l'intégrale majorante : $\int_{0}^{1} x^n dx = [\frac{x^{n+1}}{n+1}]_{0}^{1} = \frac{1^{n+1}}{n+1} - \frac{0^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1}$. Donc l'encadrement devient $0 \le I_n \le e \cdot \frac{1}{n+1}$. On sait que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$. Donc $\lim_{n \to +\infty} e \cdot \frac{1}{n+1} = 0$. D'après le théorème des gendarmes, puisque $I_n$ est encadrée par deux suites qui tendent vers 0, alors $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.