Exercice 1: Résoudre l'équation différentielle $y' = 2y$. (Répondre sous la forme 'Ce^(ax)', où C est la constante)
L'équation différentielle $y' = ay$ a pour solutions $y(x) = Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle. Pour $y' = 2y$, on a $a=2$. Donc les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{2x}$.
Exercice 2: Résoudre l'équation différentielle $y' = 3y + 6$. (Répondre sous la forme 'Ce^(ax) - b/a')
L'équation différentielle $y' = ay + b$ a pour solutions $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle. Pour $y' = 3y + 6$, on a $a=3$ et $b=6$. $\frac{b}{a} = \frac{6}{3} = 2$. Donc les solutions sont de la forme $y(x) = Ce^{3x} - 2$.
Exercice 3: Déterminer la solution de l'équation différentielle $y' = -y$ qui vérifie $y(0) = 4$. (Répondre sous la forme 'Ae^(kx)')
L'équation $y' = -y$ est de la forme $y' = ay$ avec $a=-1$. Ses solutions générales sont $y(x) = Ce^{-x}$. On utilise la condition initiale $y(0) = 4$: $y(0) = Ce^{-0} = C \cdot 1 = C$. Donc $C = 4$. La solution particulière est $y(x) = 4e^{-x}$.
Exercice 4: Déterminer la solution de $y' = 2y - 4$ qui vérifie $y(0) = 1$. (Répondre sous la forme 'Ae^(kx) + B')
L'équation $y' = 2y - 4$ est de la forme $y' = ay + b$ avec $a=2$ et $b=-4$. Les solutions générales sont $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a} = Ce^{2x} - \frac{-4}{2} = Ce^{2x} + 2$. On utilise la condition initiale $y(0) = 1$: $y(0) = Ce^{2 \cdot 0} + 2 = C + 2$. On a $C + 2 = 1$, donc $C = 1 - 2 = -1$. La solution particulière est $y(x) = -e^{2x} + 2$.
Exercice 5: La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence de température entre le corps et l'environnement. Si $T(t)$ est la température du corps et l'environnement est à $20^{\circ}C$, écrire l'équation différentielle modélisant cette situation (k est une constante positive). (Répondre sous la forme 'T'=k(T-20)' ou 'T'=-k(T-20)' sans espaces)
La vitesse de refroidissement est la dérivée de la température par rapport au temps, $T'(t)$. Elle est proportionnelle à la différence de température : $T'(t) \propto (T(t) - 20)$. Puisqu'il s'agit d'un refroidissement, la variation de température est négative si $T(t) > 20$. Donc la constante de proportionnalité doit être négative. On peut écrire $T'(t) = -k(T(t) - 20)$, où $k > 0$ est la constante de proportionnalité.
Exercice 6: Vérifier si la fonction $f(x) = 3e^{2x}$ est une solution de l'équation différentielle $y' - 2y = 0$. (Répondre par 'oui' ou 'non')
Si $f(x) = 3e^{2x}$, alors sa dérivée est $f'(x) = 3 \cdot 2e^{2x} = 6e^{2x}$. On substitue $f(x)$ et $f'(x)$ dans l'équation : $f'(x) - 2f(x) = 6e^{2x} - 2(3e^{2x}) = 6e^{2x} - 6e^{2x} = 0$. L'égalité est vérifiée, donc $f(x) = 3e^{2x}$ est bien une solution de l'équation différentielle.
Exercice 7: La population d'une bactérie est modélisée par $P'(t) = 0.5P(t)$, avec $P(0) = 100$. Quelle est la fonction $P(t)$ ? (Répondre sous la forme 'Ae^(kt)')
L'équation $P'(t) = 0.5P(t)$ est de la forme $y' = ay$ avec $a = 0.5$. Les solutions générales sont $P(t) = Ce^{0.5t}$. On utilise la condition initiale $P(0) = 100$: $P(0) = Ce^{0.5 \cdot 0} = C \cdot 1 = C$. On a $C = 100$. Donc la fonction modélisant la population est $P(t) = 100e^{0.5t}$.