Exercice 1: Soit les points $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$ dans un repère orthonormé. Calculer la distance $AB$.
La distance entre deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est donnée par la formule $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Pour $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$, on a : $AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$ $AB = \sqrt{3^2 + 4^2}$ $AB = \sqrt{9 + 16}$ $AB = \sqrt{25}$ $AB = 5$.
Exercice 2: Déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[CD]$ avec $C(-2, 5)$ et $D(6, 1)$. (Répondre sous la forme 'x,y' sans espaces)
Les coordonnées du milieu $M(x_M, y_M)$ d'un segment $[CD]$ sont données par $x_M = \frac{x_C + x_D}{2}$ et $y_M = \frac{y_C + y_D}{2}$. Pour $C(-2, 5)$ et $D(6, 1)$ : $x_M = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $y_M = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ Donc, $M(2, 3)$.
Exercice 3: Les points $P(1, 1)$, $Q(3, 5)$ et $R(4, 7)$ sont-ils alignés ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Pour vérifier si trois points $P, Q, R$ sont alignés, on peut vérifier si les vecteurs $\vec{PQ}$ et $\vec{PR}$ sont colinéaires. $\vec{PQ} = (3-1, 5-1) = (2, 4)$ $\vec{PR} = (4-1, 7-1) = (3, 6)$ Pour que les vecteurs soient colinéaires, il doit exister un réel $k$ tel que $\vec{PR} = k \vec{PQ}$. $3 = k \cdot 2 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$ $6 = k \cdot 4 \Rightarrow k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ Comme le même $k = \frac{3}{2}$ fonctionne pour les deux composantes, les vecteurs sont colinéaires, et donc les points $P, Q, R$ sont alignés.
Exercice 4: Soient les points $A(-1, 3)$ et $B(2, -1)$. Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$. (Répondre sous la forme 'x,y' sans espaces)
Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A, y_B - y_A)$. Pour $A(-1, 3)$ et $B(2, -1)$ : $\vec{AB} = (2 - (-1), -1 - 3) = (2 + 1, -4) = (3, -4)$.
Exercice 5: Donner l'équation de la droite passant par $A(1, 2)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2, -1)$. (Répondre sous la forme 'ax+by+c=0' sans espaces et avec des coefficients entiers, a>0 si possible)
L'équation cartésienne d'une droite de vecteur directeur $\vec{u}(a, b)$ est de la forme $-bx + ay + c = 0$. Ici, $\vec{u}(2, -1)$, donc l'équation est de la forme $-(-1)x + 2y + c = 0$, soit $x + 2y + c = 0$. Le point $A(1, 2)$ appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $1 + 2(2) + c = 0$ $1 + 4 + c = 0$ $5 + c = 0 \Rightarrow c = -5$. Donc l'équation de la droite est $x + 2y - 5 = 0$.
Exercice 6: Soient la droite $D_1$ d'équation $y = 2x + 1$ et la droite $D_2$ d'équation $y = -0.5x + 3$. Sont-elles perpendiculaires ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Deux droites non verticales sont perpendiculées si le produit de leurs pentes est égal à $-1$. La pente de $D_1$ est $m_1 = 2$. La pente de $D_2$ est $m_2 = -0.5$. $m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot (-0.5) = -1$. Donc, les droites $D_1$ et $D_2$ sont perpendiculaires.
Exercice 7: Donner l'équation du cercle de centre $C(0,0)$ et de rayon $R=3$. (Répondre sous la forme 'x^2+y^2=R^2' sans espaces)
L'équation d'un cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $R$ est $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Pour un cercle de centre $C(0,0)$ et de rayon $R=3$ : $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 3^2$ $x^2 + y^2 = 9$.