Exercice 1: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{1}^{2} (2x + 3) dx$
Une primitive de $f(x) = 2x + 3$ est $F(x) = x^2 + 3x$. Donc $\int_{1}^{2} (2x + 3) dx = [x^2 + 3x]_{1}^{2} = (2^2 + 3 \cdot 2) - (1^2 + 3 \cdot 1) = (4 + 6) - (1 + 3) = 10 - 4 = 6$.
Exercice 2: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{0}^{1} e^x dx$
Une primitive de $f(x) = e^x$ est $F(x) = e^x$. Donc $\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1$.
Exercice 3: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$
Une primitive de $f(x) = \frac{1}{x}$ est $F(x) = \ln|x|$. Sur l'intervalle $[1, e]$, $x > 0$, donc $F(x) = \ln x$. Donc $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.
Exercice 4: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$
Une primitive de $f(x) = \sin(x)$ est $F(x) = -\cos(x)$. Donc $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = (-(-1)) - (-(1)) = 1 + 1 = 2$.
Exercice 5: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{0}^{1} (x^2 + 4x - 1) dx$
Une primitive de $f(x) = x^2 + 4x - 1$ est $F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x$. Donc $\int_{0}^{1} (x^2 + 4x - 1) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x^2 - x]_{0}^{1} = (\frac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 1) - (\frac{0^3}{3} + 2(0)^2 - 0) = (\frac{1}{3} + 2 - 1) - 0 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.
Exercice 6: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) dx$
Une primitive de $f(x) = \cos(x)$ est $F(x) = \sin(x)$. Donc $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) dx = [\sin(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
Exercice 7: Calculer l'intégrale suivante par intégration par parties : $\int_{1}^{e} x \ln(x) dx$
On utilise l'intégration par parties : $\int u'v = [uv] - \int uv'$. Soit $u'(x) = x$ et $v(x) = \ln(x)$. Alors $u(x) = \frac{x^2}{2}$ et $v'(x) = \frac{1}{x}$. $\int_{1}^{e} x \ln(x) dx = [\frac{x^2}{2} \ln(x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$ $= (\frac{e^2}{2} \ln(e) - \frac{1^2}{2} \ln(1)) - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} dx$ $= (\frac{e^2}{2} \cdot 1 - 0) - [\frac{x^2}{4}]_{1}^{e}$ $= \frac{e^2}{2} - (\frac{e^2}{4} - \frac{1^2}{4})$ $= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$ $= \frac{2e^2 - e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$.
Exercice 8: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 5) dx$
Une primitive de $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ est $F(x) = x^3 - x^2 + 5x$. Donc $\int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 5) dx = [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^{1} = (1^3 - 1^2 + 5 \cdot 1) - (0) = (1 - 1 + 5) = 5$.
Exercice 9: Calculer l'intégrale suivante : $\int_{0}^{\ln(2)} e^{2x} dx$
Une primitive de $f(x) = e^{2x}$ est $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$. Donc $\int_{0}^{\ln(2)} e^{2x} dx = [\frac{1}{2}e^{2x}]_{0}^{\ln(2)} = \frac{1}{2}e^{2\ln(2)} - \frac{1}{2}e^{2\cdot 0} = \frac{1}{2}e^{\ln(2^2)} - \frac{1}{2}e^0 = \frac{1}{2}e^{\ln(4)} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(4) - \frac{1}{2} = 2 - 0.5 = 1.5$.