Exercice 1: Calculer l'intégrale définie : $\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x) dx$. (Répondre par un nombre entier)
Pour calculer l'intégrale, nous trouvons d'abord une primitive de la fonction $f(x) = 3x^2 + 2x$. Une primitive de $3x^2$ est $x^3$. Une primitive de $2x$ est $x^2$. Donc, une primitive de $f(x)$ est $F(x) = x^3 + x^2$. Maintenant, nous évaluons $F(2) - F(0)$ : $F(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$. $F(0) = 0^3 + 0^2 = 0 + 0 = 0$. $\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x) dx = F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
Exercice 2: Calculer l'intégrale définie : $\int_{0}^{\ln(2)} e^{x} dx$. (Répondre par un nombre entier)
Une primitive de la fonction $e^x$ est $e^x$. Nous évaluons $e^x$ entre $0$ et $\ln(2)$ : $[e^x]_{0}^{\ln(2)} = e^{\ln(2)} - e^0$. On sait que $e^{\ln(2)} = 2$ et $e^0 = 1$. Donc, l'intégrale vaut $2 - 1 = 1$.
Exercice 3: Calculer l'intégrale définie : $\int_{0}^{3} (\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}) dx$. (Répondre par un nombre entier)
Une primitive de $\frac{1}{3}x^2$ est $\frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{1}{9}x^3$. Une primitive de $\frac{1}{3}$ est $\frac{1}{3}x$. Donc, une primitive de $f(x)$ est $F(x) = \frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{3}x$. Maintenant, nous évaluons $F(3) - F(0)$ : $F(3) = \frac{1}{9}(3^3) + \frac{1}{3}(3) = \frac{27}{9} + 1 = 3 + 1 = 4$. $F(0) = \frac{1}{9}(0^3) + \frac{1}{3}(0) = 0$. $\int_{0}^{3} (\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}) dx = F(3) - F(0) = 4 - 0 = 4$.
Exercice 4: Calculer l'intégrale définie : $\int_{-1}^{1} (2x + 3) dx$. (Répondre par un nombre entier)
Une primitive de $2x$ est $x^2$. Une primitive de $3$ est $3x$. Donc, une primitive de $f(x)$ est $F(x) = x^2 + 3x$. Maintenant, nous évaluons $F(1) - F(-1)$ : $F(1) = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$. $F(-1) = (-1)^2 + 3(-1) = 1 - 3 = -2$. $\int_{-1}^{1} (2x + 3) dx = F(1) - F(-1) = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$.
Exercice 5: Calculer la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[0;3]$. (Répondre par un nombre entier)
La valeur moyenne $m$ d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a;b]$ est donnée par la formule : $m = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$. Ici, $a=0$, $b=3$, $f(x)=x^2$. $int_{0}^{3} x^2 dx$. Une primitive de $x^2$ est $\frac{1}{3}x^3$. $[ rac{1}{3}x^3]_{0}^{3} = \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{27}{3} - 0 = 9$. Donc, $m = \frac{1}{3-0} \times 9 = \frac{1}{3} \times 9 = 3$.
Exercice 6: Calculer l'intégrale définie : $\int_{1}^{2} \frac{12}{x^2} dx$. (Répondre par un nombre entier)
On peut réécrire $\frac{12}{x^2}$ comme $12x^{-2}$. Une primitive de $x^{-2}$ est $\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$. Donc, une primitive de $12x^{-2}$ est $F(x) = -\frac{12}{x}$. Maintenant, nous évaluons $F(2) - F(1)$ : $F(2) = -\frac{12}{2} = -6$. $F(1) = -\frac{12}{1} = -12$. $\int_{1}^{2} \frac{12}{x^2} dx = F(2) - F(1) = -6 - (-12) = -6 + 12 = 6$.
Exercice 7: Calculer l'intégrale définie : $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$. (Répondre par un nombre entier)
Une primitive de $\frac{1}{x}$ est $\ln(|x|)$. Comme l'intervalle d'intégration $[1;e]$ est positif, on utilise $\ln(x)$. Nous évaluons $\ln(x)$ entre $1$ et $e$ : $[\ln(x)]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1)$. On sait que $\ln(e) = 1$ et $\ln(1) = 0$. Donc, l'intégrale vaut $1 - 0 = 1$.