Exercice 1: Déterminer une primitive de la fonction $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$. (Répondre sous la forme 'ax^n+C' ou 'ax^n' si C est 0 ou omis, sans espaces)
Une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Pour $f(x) = x^3$, une primitive est $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{4}x^4 + C$. On peut aussi l'écrire $0.25x^4 + C$.
Exercice 2: Déterminer la primitive $F$ de $f(x) = e^{x}$ telle que $F(0) = 5$. (Répondre sous la forme 'Ae^(kx)+B' ou 'A*e^(kx)+B' si nécessaire, sans espaces)
Les primitives de $f(x) = e^x$ sont de la forme $F(x) = e^x + C$. On utilise la condition $F(0) = 5$: $e^0 + C = 5$ $1 + C = 5$ $C = 4$. Donc la primitive cherchée est $F(x) = e^x + 4$.
Exercice 3: Pour l'équation différentielle $y' = -0.5y + 10$, quelle est la solution particulière constante ? (Répondre sous la forme 'y=valeur' sans espaces)
Une solution particulière constante $y_0$ signifie que $y_0' = 0$. En substituant dans l'équation : $0 = -0.5y_0 + 10$. $0.5y_0 = 10$. $y_0 = \frac{10}{0.5} = 20$. La solution particulière constante est $y=20$.
Exercice 4: Sachant que $y_p(x) = 3$ est une solution particulière de $y' = 4y - 12$, donner l'ensemble des solutions de cette équation différentielle. (Répondre sous la forme 'Ce^(ax)+B', sans espaces)
Si $y_p(x) = 3$ est une solution particulière, et l'équation est de la forme $y' = ay + b$, les solutions générales sont de la forme $y(x) = Ce^{ax} + y_p(x)$. Ici, $a=4$ et $y_p(x)=3$. Donc l'ensemble des solutions est $y(x) = Ce^{4x} + 3$.
Exercice 5: Pour l'équation différentielle $y' = -2y + 8$, quelle est la limite de toute solution quand $x \to +\infty$ ? (Répondre par un nombre entier ou décimal)
L'équation est de la forme $y' = ay + b$. La solution particulière constante est $y_0 = -b/a$. Ici, $a=-2$ et $b=8$. Donc $y_0 = -\frac{8}{-2} = 4$. Toute solution de cette équation différentielle s'écrit $y(x) = Ce^{-2x} + 4$. Quand $x \to +\infty$, $e^{-2x} \to 0$. Donc $\lim_{x \to +\infty} y(x) = C \cdot 0 + 4 = 4$. La limite de toute solution est 4.
Exercice 6: Déterminer la solution de $y' = 2y - 6$ qui vérifie $y(0) = 5$. (Répondre sous la forme 'Ae^(kx)+B' sans espaces)
L'équation $y' = 2y - 6$ est de la forme $y' = ay + b$ avec $a=2$ et $b=-6$. Les solutions générales sont $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a} = Ce^{2x} - \frac{-6}{2} = Ce^{2x} + 3$. On utilise la condition initiale $y(0) = 5$: $y(0) = Ce^{2 \cdot 0} + 3 = C + 3$. On a $C + 3 = 5$, donc $C = 5 - 3 = 2$. La solution particulière est $y(x) = 2e^{2x} + 3$.
Exercice 7: La quantité de médicament dans le sang $Q(t)$ (en mg) diminue selon l'équation différentielle $Q'(t) = -0.1Q(t)$. Si la quantité initiale est de 500 mg, quelle sera la quantité après 10 minutes ? (Arrondir à 2 décimales)
L'équation $Q'(t) = -0.1Q(t)$ est de la forme $y' = ay$ avec $a = -0.1$. Les solutions générales sont $Q(t) = Ce^{-0.1t}$. On utilise la condition initiale $Q(0) = 500$: $Q(0) = Ce^{-0.1 \cdot 0} = C \cdot 1 = C$. Donc $C = 500$. La fonction modélisant la quantité de médicament est $Q(t) = 500e^{-0.1t}$. Pour $t=10$ minutes : $Q(10) = 500e^{-0.1 \times 10} = 500e^{-1}$. $e^{-1} \approx 0.367879$. $Q(10) \approx 500 \times 0.367879 = 183.9395$. Arrondi à 2 décimales, $Q(10) = 183.94$ mg.