Exercice 1: Résoudre l'équation $2iz = 4 + 6i$ dans $\mathbb{C}$. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
Pour résoudre $2iz = 4 + 6i$, on divise par $2i$. $z = \frac{4 + 6i}{2i} = \frac{2(2 + 3i)}{2i} = \frac{2 + 3i}{i}$. Pour mettre sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $-i$. $z = \frac{(2 + 3i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-2i - 3i^2}{-i^2} = \frac{-2i - 3(-1)}{-(-1)} = \frac{3 - 2i}{1} = 3 - 2i$.
Exercice 2: Résoudre l'équation $z + 2\overline{z} = 3 - i$ dans $\mathbb{C}$. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
Soit $z = x + yi$, où $x$ et $y$ sont des réels. Alors $\overline{z} = x - yi$. L'équation devient $(x + yi) + 2(x - yi) = 3 - i$. $x + yi + 2x - 2yi = 3 - i$. $(x + 2x) + (y - 2y)i = 3 - i$. $3x - yi = 3 - i$. En identifiant les parties réelles et imaginaires : $3x = 3 \implies x = 1$. $-y = -1 \implies y = 1$. Donc $z = 1 + 1i = 1+i$. **Correction de la solution pour l'exercice 2.** If $z=1+i$, then $\overline{z}=1-i$. $z + 2\overline{z} = (1+i) + 2(1-i) = 1+i+2-2i = 3-i$. The solution $z=1+i$ matches the right side of the equation. So the answer `1+i` is correct. The prompt for this particular exercise expected `1-i` as the answer (which is wrong), so I will change the answer to `1+i` and ensure the parsing handles it. The correct answer to $3x-yi=3-i$ would be $x=1$ and $y=1$. This makes $z=1+i$. I will update the answer accordingly and keep the solution matching this logic. The original answer was `1-i` which would mean $x=1, y=-1$. With $z=1-i$, $z+2\overline{z} = (1-i) + 2(1+i) = 1-i+2+2i = 3+i$. This does NOT match $3-i$. So $z=1+i$ is the correct answer.
Exercice 3: Mettre le nombre complexe $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$ sous forme algébrique. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' avec racine carrée 'sqrt(X)', sans espaces)
La forme exponentielle $re^{i\theta}$ correspond à la forme algébrique $r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\cos\theta + i(r\sin\theta)$. Ici $r=2$ et $\theta = \frac{\pi}{6}$. $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. $z = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i$.
Exercice 4: Calculer $(-\sqrt{3} + i)^3$. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
D'abord, mettons $z = -\sqrt{3} + i$ sous forme trigonométrique. Module : $r = \|z\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$. Argument : $\cos(\theta) = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$. Donc $\theta = \frac{5\pi}{6}$. Ainsi $z = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)$. Appliquons la formule de Moivre $(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$. $z^3 = 2^3 \left(\cos\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right)\right)$ $= 8 \left(\cos\left(\frac{5\pi}{2}ight) + i\sin\left(\frac{5\pi}{2}ight)\right)$. Notez que $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, donc $\cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ et $\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. $z^3 = 8(0 + i \cdot 1) = 8i$.
Exercice 5: Les points $A(1+i)$, $B(2+3i)$, $C(0-i)$ sont-ils alignés ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Les points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Affixe de $\vec{AB}$ : $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = (2+3i) - (1+i) = 1+2i$. Affixe de $\vec{AC}$ : $z_{\vec{AC}} = z_C - z_A = (0-i) - (1+i) = -1-2i$. Pour vérifier la colinéarité, on peut vérifier si $\frac{z_{\vec{AC}}}{z_{\vec{AB}}}$ est un réel. $\frac{-1-2i}{1+2i} = \frac{-(1+2i)}{1+2i} = -1$. Puisque le rapport est un nombre réel ($-1$), les vecteurs sont colinéaires, et donc les points A, B, C sont alignés. **Correction de la solution et de la réponse pour l'exercice 5.** My calculation $-1$ implies they *are* aligned. The answer should be `oui`. I will update the answer accordingly and keep the solution consistent.
Exercice 6: Dans le plan complexe, soit $A(i)$, $B(1)$, $C(1+i)$. Calculer un argument de $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$. (Répondre sous la forme 'Xpi/Y' ou 'Xpi' sans espaces, en radians)
Le nombre complexe $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ représente le rapport des vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$. Son argument est l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{AC})$. $z_C - z_A = (1+i) - i = 1$. $z_B - z_A = 1 - i$. Le quotient est $Z = \frac{1}{1-i}$. Mise sous forme algébrique : $Z = \frac{1(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{1^2 - i^2} = \frac{1+i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$. Pour trouver l'argument de $Z$: Module : $|Z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Argument : $\cos(\theta) = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc un argument est $\frac{\pi}{4}$. **Correction de la solution et de la réponse pour l'exercice 6.** My calculation yields `pi/4`. The answer in `exercisesData` was `pi/2`. I will change the answer to `pi/4` and keep the solution consistent.
Exercice 7: Donner l'affixe d'une des racines cubiques de l'unité (différente de 1). (Répondre sous la forme 'a+bi' avec des valeurs exactes ou 'e^(Xpi/Y)i' sans espaces)
Les racines cubiques de l'unité sont les solutions de $z^3=1$. Elles sont de la forme $e^{i\frac{2k\pi}{3}}$ pour $k=0, 1, 2$. Pour $k=0$, $z_0 = e^0 = 1$. Pour $k=1$, $z_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$. Pour $k=2$, $z_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}}$. On peut choisir $z_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ (qui est $-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ en forme algébrique).