Exercice 1: Soit $z_1 = 3 + 2i$ et $z_2 = 1 - 4i$. Calculer $z_1 + z_2$. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
Pour additionner deux nombres complexes, on additionne leurs parties réelles et leurs parties imaginaires séparément. $z_1 + z_2 = (3+1) + (2-4)i = 4 - 2i$.
Exercice 2: Soit $z_1 = 2 + i$ et $z_2 = 3 - 2i$. Calculer $z_1 \cdot z_2$. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans spaces)
Pour multiplier deux nombres complexes, on distribue les termes comme avec les polynômes. $z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(3 - 2i) = 2(3) + 2(-2i) + i(3) + i(-2i)$ $= 6 - 4i + 3i - 2i^2$ Comme $i^2 = -1$, $= 6 - i - 2(-1) = 6 - i + 2 = 8 - i$.
Exercice 3: Calculer le conjugué de $z = -5 + 3i$. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
Le conjugué d'un nombre complexe $a+bi$ est $a-bi$. On change le signe de la partie imaginaire. $\overline{z} = -5 - 3i$.
Exercice 4: Résoudre l'équation $z^2 + 2z + 2 = 0$ dans $\mathbb{C}$. (Répondre sous la forme 'z=a+bi ou z=c+di' en ordre croissant pour la partie réelle, puis imaginaire si égales, sans espaces)
Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. $\Delta = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$. Puisque $\Delta < 0$, il y a deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-2 - i\sqrt{4}}{2(1)} = \frac{-2 - 2i}{2} = -1 - i$. $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-2 + i\sqrt{4}}{2(1)} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$. Les solutions sont $z=-1-i$ ou $z=-1+i$.
Exercice 5: Calculer le module de $z = 3 - 4i$. (Répondre par la valeur exacte)
Le module d'un nombre complexe $z = a+bi$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. $\|z\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 6: Dans le plan complexe, soit $A$ le point d'affixe $z_A = 1+2i$ et $B$ le point d'affixe $z_B = 4-i$. Quelle est l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ ? (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$. $z_{\vec{AB}} = (4-i) - (1+2i) = 4 - i - 1 - 2i = 3 - 3i$.
Exercice 7: Mettre le nombre complexe $z = \frac{1}{1+i}$ sous forme algébrique. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
Pour mettre un quotient sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. $z = \frac{1}{1+i} = \frac{1 \cdot (1-i)}{(1+i)(1-i)}$ $= \frac{1-i}{1^2 - i^2} = \frac{1-i}{1 - (-1)} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i = 0.5 - 0.5i$.
Exercice 8: Quel est un argument de $z = i$ ? (Répondre sous la forme 'Xpi/Y' ou 'Xpi' sans espaces)
Le nombre complexe $z=i$ est représenté par le point $(0,1)$ dans le plan complexe. Cet point est sur l'axe imaginaire positif. Un argument de $i$ est $\frac{\pi}{2}$ radians.
Exercice 9: Donner la forme trigonométrique de $z = 1 + i\sqrt{3}$. (Répondre sous la forme 'r(cos(theta)+isin(theta))' avec r et theta exacts, pi comme 'pi', sans espaces)
On calcule d'abord le module $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Ensuite, on cherche l'argument $\theta$ tel que $\cos(\theta) = \frac{1}{r}\text{Re}(z) = \frac{1}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{r}\text{Im}(z) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. La valeur de $\theta$ qui satisfait ces conditions est $\frac{\pi}{3}$. Donc la forme trigonométrique est $2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
Exercice 10: Utiliser la formule de Moivre pour calculer $(1+i)^4$. (Répondre sous la forme 'a+bi' ou 'a-bi' sans espaces)
D'abord, mettons $1+i$ sous forme trigonométrique. Module : $|1+i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Argument : $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\theta = \frac{\pi}{4}$. Ainsi $1+i = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$. Maintenant, appliquons la formule de Moivre $(r(\cos\theta + i\sin\theta))^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$. $(1+i)^4 = (\sqrt{2})^4 \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)$ $= 4 (\cos(\pi) + i\sin(\pi))$ $= 4(-1 + i \cdot 0) = -4$.