Exercice 1: Soit une variable aléatoire $X$ d'espérance $E(X) = 10$ et de variance $V(X) = 4$. Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev pour majorer $P(|X - 10| \ge 3)$. (Arrondir à 3 décimales)
L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev est $P(|X - E(X)| \ge \epsilon) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2}$. Ici, $E(X)=10, V(X)=4, \epsilon=3$. $P(|X - 10| \ge 3) \le \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9} \approx 0.444$.
Exercice 2: Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X)=20$ et $V(X)=5$. Minorer $P(|X - 20| < 4)$. (Arrondir à 3 décimales)
On cherche à minorer $P(|X - 20| < 4)$, ce qui est équivalent à $1 - P(|X - 20| \ge 4)$. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev avec $\epsilon = 4$ : $P(|X - 20| \ge 4) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2} = \frac{5}{4^2} = \frac{5}{16} = 0.3125$. Donc, $P(|X - 20| < 4) = 1 - P(|X - 20| \ge 4) \ge 1 - 0.3125 = 0.6875 \approx 0.688$.
Exercice 3: Un dé équilibré est lancé 100 fois. Soit $X$ le nombre de '6' obtenus. Majorer la probabilité que le nombre de '6' s'écarte de plus de 10 de son espérance, $P(|X - E(X)| \ge 10)$. (Arrondir à 3 décimales)
Le nombre de '6' suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=100$ et $p = \frac{1}{6}$. Espérance : $E(X) = n \cdot p = 100 \cdot \frac{1}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16.667$. Variance : $V(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 100 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{500}{36} = \frac{125}{9} \approx 13.889$. On applique Bienaymé-Chebyshev avec $\epsilon = 10$ : $P(|X - E(X)| \ge 10) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2} = \frac{125/9}{10^2} = \frac{125/9}{100} = \frac{125}{900} = \frac{5}{36} \approx 0.0138... \approx 0.014$.
Exercice 4: L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev fournit une ____________ de la probabilité qu'une variable aléatoire s'éloigne de son espérance. (Compléter par 'majoration' ou 'minoration')
L'inégalité s'écrit $P(|X - E(X)| \ge \epsilon) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2}$. Le symbole '$\le$' indique que l'on donne une borne supérieure, donc une majoration.
Exercice 5: Pour appliquer l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, quelles sont les deux propriétés de la variable aléatoire $X$ qui doivent être connues ? (Répondre sous la forme 'propriété1 et propriété2')
L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev nécessite la connaissance de l'espérance $E(X)$ et de la variance $V(X)$ de la variable aléatoire $X$.
Exercice 6: Peut-on utiliser l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev pour trouver la probabilité exacte $P(X=k)$ ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev donne une borne supérieure pour la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance d'au moins une certaine valeur. Elle ne permet pas de calculer une probabilité exacte pour un événement précis comme $P(X=k)$.
Exercice 7: Si la variance $V(X)$ tend vers 0, que peut-on dire sur la dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance $E(X)$ ? (Répondre par 'elles se concentrent autour de E(X)' ou 'elles s'éloignent de E(X)')
L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev montre que $P(|X - E(X)| \ge \epsilon) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2}$. Si $V(X)$ tend vers 0, alors la majoration de cette probabilité tend vers 0. Cela signifie que la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance devient très faible, et donc les valeurs de $X$ se concentrent de plus en plus autour de $E(X)$.