Exercice 1: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$. (Répondre sous la forme 'ax^n + bx^(n-1) + ...' sans espaces)
La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. $f'(x) = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} - 0$ $f'(x) = 3x^2 - 4x + 5$.
Exercice 2: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{1}{x+1}$. (Répondre sous la forme '-1/(ax+b)^2' ou similaire, sans espaces)
On utilise la formule de dérivation de $1/u$, qui est $-u'/u^2$. Ici $u(x) = x+1$, donc $u'(x) = 1$. $f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$.
Exercice 3: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = xe^x$. (Répondre sous la forme '(... )e^x' sans espaces)
On utilise la formule de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Ici $u(x) = x$ et $v(x) = e^x$. $u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x$. $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x) = (x+1)e^x$.
Exercice 4: Déterminer le sens de variation de $f(x) = x^2 - 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$. (Répondre par 'croissante sur [a,+inf[ et décroissante sur ]-inf,a]' ou 'décroissante sur ]-inf,a] et croissante sur [a,+inf[')
On calcule la dérivée : $f'(x) = 2x - 2$. On étudie le signe de $f'(x)$ : $f'(x) = 0 \iff 2x - 2 = 0 \iff 2x = 2 \iff x = 1$. $f'(x) < 0$ pour $x < 1$ (donc $f$ est décroissante sur $]-\infty, 1]$). $f'(x) > 0$ pour $x > 1$ (donc $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$). La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$.
Exercice 5: Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x)$. (Répondre par la valeur exacte, '+inf' ou '-inf')
Il s'agit d'une forme indéterminée de type $\infty - \infty$. On peut factoriser par $e^x$ : $e^x - x = e^x(1 - \frac{x}{e^x})$. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$. Alors $\lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{x}{e^x}) = 1 - 0 = 1$. Et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$. Par produit, $\lim_{x \to +\infty} e^x(1 - \frac{x}{e^x}) = (+ \infty) \cdot 1 = +\infty$.
Exercice 6: Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 + 3x$ au point d'abscisse $x_0 = 1$. (Répondre sous la forme 'y=ax+b' sans espaces)
L'équation de la tangente au point d'abscisse $x_0$ est donnée par $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. 1. Calculer $f(x_0)$: $f(1) = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$. 2. Calculer $f'(x)$: $f'(x) = 2x + 3$. 3. Calculer $f'(x_0)$: $f'(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$. 4. Substituer dans la formule : $y = 5(x - 1) + 4$ $y = 5x - 5 + 4$ $y = 5x - 1$.
Exercice 7: Déterminer l'équation de l'asymptote horizontale à la courbe de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-3}$ quand $x \to +\infty$. (Répondre sous la forme 'y=valeur')
Une asymptote horizontale existe si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ (une valeur finie $L$). $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3} = 0$. Donc $\lim_{x \to +\infty} (2 + \frac{1}{x-3}) = 2 + 0 = 2$. L'asymptote horizontale a pour équation $y = 2$.