Exercice 1: Un dé équilibré est lancé 5 fois. On compte le nombre de fois où un '6' apparaît. Est-ce une loi binomiale ? Si oui, quels sont ses paramètres (n, p) ? (Répondre par 'oui, n=X, p=Y' ou 'non')
Oui, c'est une loi binomiale. - L'expérience est répétée 5 fois (n=5). - Les répétitions sont identiques et indépendantes. - Chaque épreuve a deux issues : 'succès' (obtenir un '6') ou 'échec' (ne pas obtenir un '6'). - La probabilité de succès est constante : $p = \frac{1}{6}$.
Exercice 2: Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(10, 0.2)$. Calculer $P(X=3)$. (Arrondir à 4 décimales)
Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, la probabilité $P(X=k)$ est donnée par $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Ici, $n=10, p=0.2, k=3$. $P(X=3) = \binom{10}{3} (0.2)^3 (0.8)^{10-3}$ $P(X=3) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^7$ $P(X=3) = 120 \cdot 0.008 \cdot 0.2097152 \approx 0.2013$
Exercice 3: Soit $X \sim \mathcal{B}(100, 0.4)$. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$. (Répondre sous la forme 'E=valeur, V=valeur')
Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : Espérance $E(X) = n \cdot p$. Variance $V(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$. Ici, $n=100, p=0.4$. $E(X) = 100 \cdot 0.4 = 40$. $V(X) = 100 \cdot 0.4 \cdot (1-0.4) = 100 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 24$.
Exercice 4: Soit une variable aléatoire $X$ avec $E(X)=50$ et $V(X)=10$. Utiliser l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev pour minorer $P(|X - 50| < 5)$. (Arrondir à 3 décimales)
L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev est $P(|X - E(X)| \ge \epsilon) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2}$. On cherche à minorer $P(|X - 50| < 5)$. C'est l'événement complémentaire de $P(|X - 50| \ge 5)$. Donc $P(|X - 50| < 5) = 1 - P(|X - 50| \ge 5)$. Ici, $E(X)=50, V(X)=10, \epsilon=5$. $P(|X - 50| \ge 5) \le \frac{10}{5^2} = \frac{10}{25} = 0.4$. Donc $P(|X - 50| < 5) = 1 - P(|X - 50| \ge 5) \ge 1 - 0.4 = 0.6$.
Exercice 5: Un QCM de 5 questions propose 4 réponses par question, dont une seule est juste. Un étudiant répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses. Calculer $P(X \ge 4)$. (Arrondir à 4 décimales)
C'est une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=5$ (5 questions) et $p = \frac{1}{4} = 0.25$ (probabilité de bonne réponse au hasard). On cherche $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)$. $P(X=4) = \binom{5}{4} (0.25)^4 (0.75)^{1} = 5 \cdot (0.00390625) \cdot 0.75 = 0.0146484375$ $P(X=5) = \binom{5}{5} (0.25)^5 (0.75)^{0} = 1 \cdot (0.0009765625) \cdot 1 = 0.0009765625$ $P(X \ge 4) = 0.0146484375 + 0.0009765625 = 0.015625 \approx 0.0156$.
Exercice 6: L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev nous dit que plus la variance d'une variable aléatoire est petite, plus les valeurs prises par la variable sont... (Compléter par 'proches de l'espérance' ou 'éloignées de l'espérance')
L'inégalité de Bienaymé-Chebyshev $P(|X - E(X)| \ge \epsilon) \le \frac{V(X)}{\epsilon^2}$ indique que la probabilité que $X$ s'éloigne de son espérance $E(X)$ est majorée par un terme qui dépend de la variance $V(X)$. Si $V(X)$ est petite, cette majoration est petite, ce qui signifie que $P(|X - E(X)| \ge \epsilon)$ est petite, et donc $P(|X - E(X)| < \epsilon)$ (la probabilité que $X$ soit proche de son espérance) est grande. Ainsi, plus la variance est petite, plus les valeurs sont proches de l'espérance.
Exercice 7: On lance une pièce équilibrée 1000 fois. Soit $X$ le nombre de 'Pile'. Quelle est l'espérance de $X$ ?
Le nombre de 'Pile' suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=1000$ (nombre de lancers) et $p=0.5$ (probabilité d'obtenir 'Pile' avec une pièce équilibrée). L'espérance est $E(X) = n \cdot p = 1000 \cdot 0.5 = 500$.