Exercice 1: Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on former ? (Les chiffres peuvent être répétés)
L'ensemble des chiffres est $E={0,1,...,9}$, donc $n=10$. Un code PIN a 4 chiffres, donc $p=4$. L'ordre des chiffres compte et les répétitions sont autorisées. Il s'agit donc de 4-listes de chiffres. Le nombre de codes PIN possibles est $10^4 = 10 000$.
Exercice 2: Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte 5 questions. Pour chaque question, 3 réponses sont proposées (A, B, C). Combien y a-t-il de grilles de réponses possibles ?
L'ensemble des réponses pour une question est $E={A,B,C}$, donc $n=3$. Il y a 5 questions, donc une grille est une 5-liste de réponses, $p=5$. Le nombre de grilles possibles est $3^5 = 243$.
Exercice 3: De combien de manières différentes 4 personnes peuvent-elles s'asseoir sur 4 chaises alignées ?
Il y a 4 personnes et 4 chaises, donc $n=4$. Toutes les personnes sont placées, l'ordre dans lequel elles s'assoient sur les chaises compte. Il s'agit de permutations de 4 éléments. Le nombre de manières est $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Exercice 4: Combien d'anagrammes peut-on former avec le mot 'ANANAS' ?
Le mot 'ANANAS' a $n=6$ lettres. La lettre 'A' apparaît $n_A=3$ fois. La lettre 'N' apparaît $n_N=2$ fois. La lettre 'S' apparaît $n_S=1$ fois. Le nombre d'anagrammes est $\frac{6!}{3!\times2!\times1!} = \frac{720}{6\times2\times1} = \frac{720}{12} = 60$.
Exercice 5: Un club de 10 coureurs participe à une course. Seuls les 3 premiers sont récompensés (1er, 2e, 3e). Combien y a-t-il de podiums possibles ?
L'ensemble des coureurs a $n=10$ éléments. On choisit 3 coureurs pour le podium, donc $p=3$. L'ordre compte et un coureur ne peut être récompensé qu'une seule fois. Il s'agit donc d'arrangements de 3 coureurs parmi 10. $A_{10}^{3} = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Exercice 6: Dans une classe de 25 élèves, on doit élire 3 délégués. Combien de groupes de délégués différents peut-on former ?
L'ensemble des élèves a $n=25$ éléments. On choisit 3 délégués, donc $p=3$. L'ordre n'a pas d'importance et un élève ne peut être choisi qu'une fois. Il s'agit donc de combinaisons de 3 élèves parmi 25. $\binom{25}{3} = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 25 \times 4 \times 23 = 2300$.
Exercice 7: Combien de mains différentes de 5 cartes peut-on former à partir d'un jeu de 52 cartes ?
L'ensemble des cartes a $n=52$ éléments. On tire 5 cartes, donc $p=5$. L'ordre des cartes tirées n'a pas d'importance et les cartes ne sont pas remises. Il s'agit donc de combinaisons de 5 cartes parmi 52. $\binom{52}{5} = \frac{52!}{5!47!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 598 960$.
Exercice 8: Développer $(x+y)^3$. (Répondez sous la forme 'ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3', sans espaces et avec les coefficients s'ils sont 1)
Pour $(x+y)^3$, $a=x, b=y, n=3$. Les coefficients binomiaux pour $n=3$ sont $\binom{3}{0}=1, \binom{3}{1}=3, \binom{3}{2}=3, \binom{3}{3}=1$. Donc, $(x+y)^3 = 1x^3y^0 + 3x^2y^1 + 3x^1y^2 + 1x^0y^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.
Exercice 9: Développer $(2x-1)^4$. (Répondez sous la forme 'ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e', sans espaces et avec les signes)
Pour $(2x-1)^4$, $a=2x, b=-1, n=4$. Les coefficients binomiaux pour $n=4$ sont $\binom{4}{0}=1, \binom{4}{1}=4, \binom{4}{2}=6, \binom{4}{3}=4, \binom{4}{4}=1$. Calcul des termes: $p=0: \binom{4}{0}(2x)^4(-1)^0 = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 = 16x^4$ $p=1: \binom{4}{1}(2x)^3(-1)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-1) = -32x^3$ $p=2: \binom{4}{2}(2x)^2(-1)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 24x^2$ $p=3: \binom{4}{3}(2x)^1(-1)^3 = 4 \cdot 2x \cdot (-1) = -8x$ $p=4: \binom{4}{4}(2x)^0(-1)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ Somme: $16x^4-32x^3+24x^2-8x+1$.