Annales Bac 2026 : Modélisation de Population & Suites
Exercice 1 : En juin 2019, une population de 200 marmottes a été introduite dans un massif montagneux. On souhaite modéliser cette population en fonction du temps.
- Modèle A (Arithmétique) : La population augmente de 20 individus chaque année ($u_0 = 200$).
- Modèle B (Géométrique) : La population augmente de 10 % chaque année ($v_0 = 200$).
1.1. Selon le Modèle A, combien de marmottes peut-on estimer en juin 2025 ($n=6$) ? (Répondre par le nombre entier)
Solution officielle :
Le Modèle A est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 200$ et de raison $r = 20$.
L'expression générale est $u_n = 200 + 20n$.
En juin 2025, l'indice d'année est $n = 2025 - 2019 = 6$.
$u_6 = 200 + 20 \times 6 = 200 + 120 = 320$ marmottes.
1.2. Selon le Modèle B (+10 % par an), combien de marmottes peut-on estimer en juin 2025 ($n=6$) ? (Arrondir à l'unité près)
Solution officielle :
Une augmentation de 10 % correspond à une suite géométrique de raison $q = 1,1$.
L'expression générale est $v_n = 200 \times (1,1)^n$.
Pour $n = 6$ : $v_6 = 200 \times (1,1)^6 = 200 \times 1,771561 = 354,31... \approx 354$ marmottes.
Note : Un décompte réel sur le terrain ayant donné 355 marmottes en 2025, le Modèle B est particulièrement pertinent.
1.3. Au mois de juin de quelle année la population de marmottes aura-t-elle dépassé 400 individus selon le Modèle B (achats du tableau : $v_7 = 390$, $v_8 = 429$) ?
Solution officielle :
D'après le tableau de valeurs :
- Pour $n = 7$ (année 2026), la population est de $390$ marmottes ($< 400$).
- Pour $n = 8$ (année 2027), la population est de $429$ marmottes ($> 400$).
La population aura donc dépassé les 400 individus au mois de juin 2027.