Annales Bac 2026 : Second Degré & Variations
Exercice 1 : On considère la fonction $f$ définie sur $[-2 ; 4]$ par :
$$f(x) = -x^2 + 2x + 8$$
1.1. Calculer la dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in [-2 ; 4]$. (Répondre sous la forme '-2x+b' sans espaces)
Solution officielle :
Pour tout $x \in [-2 ; 4]$ :
$f'(x) = -(2x) + 2(1) + 0 = -2x + 2$.
1.2. Pour quelle valeur de $x$ la fonction $f$ atteint-elle son maximum ? (Répondre par le nombre exact)
Solution officielle :
Étudions le signe de $f'(x) = -2x + 2$ :
$-2x + 2 > 0 \iff 2 > 2x \iff x < 1$.
La dérivée $f'(x)$ est strictement positive sur $[-2 ; 1[$, s'annule en $x = 1$ et est négative sur $]1 ; 4]$.
La fonction $f$ est donc croissante puis décroissante : elle atteint son maximum en $x = 1$ (valant $f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 8 = 9$).
1.3. Quelle est la racine positive de la fonction $f$ (valeur où $f(x) = 0$ sur $[0 ; 4]$) ? (Répondre par le nombre entier)
Solution officielle :
Résolvons $-x^2 + 2x + 8 = 0$.
$\Delta = 2^2 - 4(-1)(8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
Les racines sont :
$x_1 = \frac{-2 - 6}{-2} = \frac{-8}{-2} = 4$.
$x_2 = \frac{-2 + 6}{-2} = \frac{4}{-2} = -2$.
La racine positive sur $[0 ; 4]$ est $x = 4$.