Exercice 1: Dans une enquête, 60% des personnes interrogées sont des femmes (F) et 40% des hommes (H). Parmi les femmes, 70% aiment lire (L), et parmi les hommes, 50% aiment lire. Compléter le tableau croisé d'effectifs pour 100 personnes :
| L | Non L | Total | |
|---|---|---|---|
| F | 60 | ||
| H | 40 | ||
| Total | 100 |
Le tableau complété :
| L | Non L | Total | |
|---|---|---|---|
| F | 42 | 18 | 60 |
| H | 20 | 20 | 40 |
| Total | 62 | 38 | 100 |
Exercice 2: En utilisant le tableau de l'exercice précédent, quelle est la fréquence marginale des personnes qui aiment lire (toutes personnes confondues) ? (Répondre en pourcentage sans le signe '%')
La fréquence marginale des personnes qui aiment lire est le total de la colonne 'L' divisé par le total général. Fréquence marginale de L = (Total L) / (Total général) = 62 / 100 = 0.62. En pourcentage, cela fait 62%.
Exercice 3: Un élève participe à un jeu. Il y a deux urnes. L'urne 1 contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. L'urne 2 contient 6 boules rouges et 4 boules bleues. L'élève choisit une urne au hasard (probabilité 0.5 pour chaque urne) puis tire une boule. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? (Répondre sous forme décimale)
Soit U1 l'événement 'choisir l'urne 1' et U2 l'événement 'choisir l'urne 2'. Soit R l'événement 'tirer une boule rouge' et B l'événement 'tirer une boule bleue'. P(U1) = 0.5, P(U2) = 0.5. Probabilité de tirer une rouge sachant U1 : P(R|U1) = 3/10 = 0.3. Probabilité de tirer une rouge sachant U2 : P(R|U2) = 6/10 = 0.6. En utilisant la formule des probabilités totales : P(R) = P(R|U1)P(U1) + P(R|U2)P(U2) P(R) = (0.3)(0.5) + (0.6)(0.5) = 0.15 + 0.30 = 0.45.
Exercice 4: On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit A l'événement 'obtenir un nombre pair'. Soit B l'événement 'obtenir un nombre supérieur à 3'. Les événements A et B sont-ils indépendants ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Issues possibles : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Total de 6 issues. A = {2, 4, 6}. P(A) = 3/6 = 1/2. B = {4, 5, 6}. P(B) = 3/6 = 1/2. A et B sont indépendants si P(A \cap B) = P(A) * P(B). A \cap B = {4, 6}. P(A \cap B) = 2/6 = 1/3. P(A) * P(B) = (1/2) * (1/2) = 1/4. Puisque P(A \cap B) = 1/3 et P(A) * P(B) = 1/4, P(A \cap B) \ne P(A) * P(B). Donc les événements A et B ne sont PAS indépendants.
Exercice 5: Un tireur a une probabilité de 0.8 de toucher la cible à chaque tir. Il effectue deux tirs indépendants. Quelle est la probabilité qu'il touche la cible au moins une fois ? (Répondre sous forme décimale)
Soit T1 l'événement 'toucher la cible au premier tir' et T2 l'événement 'toucher la cible au deuxième tir'. P(T1) = 0.8, P(T2) = 0.8. L'événement 'toucher la cible au moins une fois' est le contraire de 'ne toucher la cible aucune fois'. L'événement 'ne toucher la cible aucune fois' est (non T1) ET (non T2). P(non T1) = 1 - 0.8 = 0.2. P(non T2) = 1 - 0.8 = 0.2. P(non T1 et non T2) = P(non T1) * P(non T2) (car les tirs sont indépendants) = 0.2 * 0.2 = 0.04. P(toucher au moins une fois) = 1 - P(ne toucher aucune fois) = 1 - 0.04 = 0.96.
Exercice 6: Dans une population, 30% des individus ont la maladie M. Parmi les malades, 90% ont un symptôme S. Parmi les non-malades, 5% ont le symptôme S. Si un individu a le symptôme S, quelle est la probabilité qu'il soit malade ? (Arrondir à 3 décimales)
Soit M l'événement 'être malade' et S l'événement 'avoir le symptôme S'. P(M) = 0.30, P(non M) = 1 - 0.30 = 0.70. P(S|M) = 0.90. P(S|non M) = 0.05. On cherche P(M|S). Utilisons la formule de Bayes : P(M|S) = [P(S|M) * P(M)] / P(S). D'abord, calculons P(S) en utilisant la formule des probabilités totales : P(S) = P(S|M)P(M) + P(S|non M)P(non M) P(S) = (0.90)(0.30) + (0.05)(0.70) = 0.27 + 0.035 = 0.305. Maintenant, P(M|S) = (0.90 * 0.30) / 0.305 = 0.27 / 0.305 \approx 0.885245... Arrondi à 3 décimales, cela donne 0.885.
Exercice 7: Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire successivement et sans remise 2 boules. Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient de la même couleur ? (Répondre sous la forme d'une fraction irréductible)
Il y a 10 boules au total. Probabilité de tirer 2 rouges (R1 \cap R2) : P(R1) = 4/10. Si R1 est tirée, il reste 3 rouges sur 9 boules. P(R2|R1) = 3/9. P(R1 \cap R2) = (4/10) * (3/9) = 12/90 = 2/15. Probabilité de tirer 2 bleues (B1 \cap B2) : P(B1) = 6/10. Si B1 est tirée, il reste 5 bleues sur 9 boules. P(B2|B1) = 5/9. P(B1 \cap B2) = (6/10) * (5/9) = 30/90 = 1/3 = 5/15. Probabilité que les deux boules soient de la même couleur = P(R1 \cap R2) + P(B1 \cap B2) = 2/15 + 5/15 = 7/15.