Exercice 1: Dans un repère orthonormé, soit $A(1; 3)$ et $B(4; -2)$. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont $(x_B - x_A; y_B - y_A)$. $x_{\vec{AB}} = 4 - 1 = 3$. $y_{\vec{AB}} = -2 - 3 = -5$. Donc $\vec{AB}(3; -5)$.
Exercice 2: Soit $\vec{u}(2; -1)$ et $\vec{v}(3; 4)$. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{u} + \vec{v}$. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées respectives. $x_{\vec{u} + \vec{v}} = x_u + x_v = 2 + 3 = 5$. $y_{\vec{u} + \vec{v}} = y_u + y_v = -1 + 4 = 3$. Donc $\vec{u} + \vec{v}(5; 3)$.
Exercice 3: Soit $\vec{w}(-2; 5)$. Calculer les coordonnées du vecteur $3\vec{w}$. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
Pour multiplier un vecteur par un scalaire, on multiplie chaque coordonnée par ce scalaire. $x_{3\vec{w}} = 3 \times (-2) = -6$. $y_{3\vec{w}} = 3 \times 5 = 15$. Donc $3\vec{w}(-6; 15)$.
Exercice 4: Les vecteurs $\vec{u}(2; -3)$ et $\vec{v}(-4; 6)$ sont-ils colinéaires ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Deux vecteurs $\vec{u}(x; y)$ et $\vec{v}(x'; y')$ sont colinéaires si leur déterminant est nul, c'est-à-dire si $xy' - yx' = 0$. Ici, $(2)(6) - (-3)(-4) = 12 - 12 = 0$. Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires.
Exercice 5: Soit $A(-1; 4)$ et $B(5; -2)$. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
Les coordonnées du milieu $M$ d'un segment $[AB]$ sont $(\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})$. $x_M = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2$. $y_M = \frac{4+(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Donc $M(2; 1)$.
Exercice 6: Calculer la norme du vecteur $\vec{u}(3; 4)$. (Répondre par la valeur exacte)
La norme d'un vecteur $\vec{u}(x; y)$ est $| ec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 7: Les points $A(1; 1)$, $B(3; 5)$ et $C(4; 7)$ sont-ils alignés ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Les points A, B, C sont alignés si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. Coordonnées de $\vec{AB}$: $(3-1; 5-1) = (2; 4)$. Coordonnées de $\vec{AC}$: $(4-1; 7-1) = (3; 6)$. Calculons le déterminant de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$: $x_{\vec{AB}}y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}}x_{\vec{AC}} = (2)(6) - (4)(3) = 12 - 12 = 0$. Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires, et donc les points A, B, C sont alignés.