Exercice 1: Dans un repère orthonormé, on donne $A(-1; 2)$, $B(3; 4)$, $C(5; 0)$, $D(1; -2)$. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Pour qu'ABCD soit un parallélogramme, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ doivent être égaux (ou $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$). Coordonnées de $\vec{AB}$: $(3 - (-1); 4 - 2) = (4; 2)$. Coordonnées de $\vec{DC}$: $(5 - 1; 0 - (-2)) = (4; 2)$. Puisque $\vec{AB} = \vec{DC}$, le quadrilatère ABCD est bien un parallélogramme.
Exercice 2: Dans un repère orthonormé, soit $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(1; 5)$. Quelle est la nature du triangle ABC ? (Répondre par 'rectangle', 'isocele', 'equilateral' ou 'quelconque')
Calculons les carrés des longueurs des côtés : $AB^2 = (4-1)^2 + (1-1)^2 = 3^2 + 0^2 = 9$. $AC^2 = (1-1)^2 + (5-1)^2 = 0^2 + 4^2 = 16$. $BC^2 = (4-1)^2 + (1-5)^2 = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$. Vérifions si le théorème de Pythagore s'applique : $AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25$. Puisque $AB^2 + AC^2 = BC^2$, le triangle ABC est rectangle en A.
Exercice 3: Soient $A(0; 1)$, $B(3; 2)$, $C(1; 5)$. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
Pour que ABCD soit un parallélogramme, les vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{BC}$ doivent être égaux. Soit $D(x_D; y_D)$. Coordonnées de $\vec{AD}$: $(x_D - 0; y_D - 1) = (x_D; y_D - 1)$. Coordonnées de $\vec{BC}$: $(1 - 3; 5 - 2) = (-2; 3)$. En égalisant les coordonnées : $x_D = -2$. $y_D - 1 = 3 \implies y_D = 3 + 1 = 4$. Donc $D(-2; 4)$.
Exercice 4: Dans un cube ABCDEFGH (AB en bas à l'avant, EF en haut à l'avant), les droites (AE) et (CG) sont-elles parallèles, sécantes ou non coplanaires ? (Répondre par 'paralleles', 'secantes' ou 'noncoplanaires')
[Image of a cube with vertices labeled A, B, C, D (bottom face), E, F, G, H (top face)] Les arêtes [AE] et [CG] sont des arêtes verticales d'un cube. Par définition d'un cube, les arêtes verticales sont parallèles entre elles. Donc les droites (AE) et (CG) sont parallèles.
Exercice 5: Un cube est coupé par un plan passant par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet. Quelle est la nature de la section obtenue ? (Répondre par 'triangleequilateral', 'triangleisocele' ou 'trianglequelconque')
Si un plan coupe un cube en passant par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet, la section obtenue est un triangle dont les côtés sont des diagonales de faces du cube. Ces diagonales sont de même longueur, formant ainsi un triangle équilatéral.
Exercice 6: Dans un repère orthonormé, calculer la distance entre les points $A(2; -3)$ et $B(-1; 1)$. (Répondre par la valeur exacte ou sous forme de racine carrée simplifiée 'sqrt(X)')
La formule de la distance entre deux points $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ est $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. $AB = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (1 - (-3))^2}$ $AB = \sqrt{(-3)^2 + (1 + 3)^2}$ $AB = \sqrt{9 + 4^2}$ $AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 7: Donner l'équation réduite de la droite passant par $A(1; 2)$ et de coefficient directeur $m=3$. (Répondre sous la forme 'y=ax+b' sans espaces)
L'équation réduite d'une droite est $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine. On sait que $m=3$, donc $y = 3x + p$. Le point $A(1; 2)$ appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $2 = 3(1) + p$ $2 = 3 + p$ $p = 2 - 3 = -1$. L'équation réduite de la droite est $y = 3x - 1$.