Exercice 1: Donner une équation cartésienne de la droite passant par $A(2; -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3; 4)$. (Répondre sous la forme 'ax+by+c=0' sans espaces, a positif)
Une droite de vecteur directeur $\vec{u}(a; b)$ a pour équation cartésienne de la forme $-bx + ay + c = 0$. Ici, $\vec{u}(3; 4)$, donc l'équation est de la forme $-4x + 3y + c = 0$. Le point $A(2; -1)$ appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $-4(2) + 3(-1) + c = 0$ $-8 - 3 + c = 0$ $-11 + c = 0 \implies c = 11$. L'équation est $-4x + 3y + 11 = 0$. Pour avoir le coefficient de $x$ positif, on multiplie par -1 : $4x - 3y - 11 = 0$.
Exercice 2: Le point $P(3; -2)$ appartient-il à la droite d'équation $2x + 3y - 1 = 0$ ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Pour vérifier si un point appartient à une droite, on substitue ses coordonnées dans l'équation de la droite. $2(3) + 3(-2) - 1 = 6 - 6 - 1 = -1$. Puisque $-1 \ne 0$, le point n'appartient pas à la droite. **Correction for exercise 2.** My calculation result is -1, which is not 0, so the point does NOT belong to the line. The expected answer `oui` is incorrect. I will correct the expected answer to `non` and keep the solution consistent.
Exercice 3: Donner une équation cartésienne de la droite passant par $A(1; 2)$ et $B(3; 8)$. (Répondre sous la forme 'ax+by+c=0' sans espaces, a positif)
D'abord, calculons les coordonnées du vecteur directeur $\vec{AB}$. $\vec{AB}(3-1; 8-2) = \vec{AB}(2; 6)$. Une équation cartésienne de la droite est de la forme $-bx + ay + c = 0$. Ici, $a=2$ et $b=6$, donc $-6x + 2y + c = 0$. On peut simplifier par 2 : $-3x + y + c' = 0$. Utilisons le point $A(1; 2)$ pour trouver $c'$ : $-3(1) + 2 + c' = 0$ $-3 + 2 + c' = 0$ $-1 + c' = 0 \implies c' = 1$. L'équation est $-3x + y + 1 = 0$. Pour avoir le coefficient de $x$ positif, on multiplie par -1 : $3x - y - 1 = 0$.
Exercice 4: Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite d'équation $5x - 2y + 7 = 0$. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b; a)$. Ici, $a=5$ et $b=-2$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(-(-2); 5) = \vec{u}(2; 5)$.
Exercice 5: Donner les coordonnées d'un vecteur normal de la droite d'équation $-x + 3y - 4 = 0$. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur normal est $\vec{n}(a; b)$. Ici, $a=-1$ et $b=3$. Un vecteur normal est $\vec{n}(-1; 3)$.
Exercice 6: Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites d'équations $x+y=5$ et $2x-y=1$. (Répondre sous la forme '(x;y)' sans espaces)
On doit résoudre le système d'équations : $\{ \begin{array}{l} x+y=5 \quad (1) \\ 2x-y=1 \quad (2) \end{array}$ Par addition de (1) et (2) : $(x+y) + (2x-y) = 5+1$ $3x = 6 \implies x = 2$. Substituons $x=2$ dans l'équation (1) : $2 + y = 5 \implies y = 3$. Le point d'intersection est $(2; 3)$.
Exercice 7: La droite $D_1$ a pour équation $3x - 2y + 1 = 0$. La droite $D_2$ a pour équation $-6x + 4y - 5 = 0$. Les droites $D_1$ et $D_2$ sont-elles parallèles ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs (ou normaux) sont colinéaires. Vecteur directeur de $D_1$: $\vec{u_1}(-(-2); 3) = (2; 3)$. Vecteur directeur de $D_2$: $\vec{u_2}(-4; -6)$. Vérifions la colinéarité : $x_{\vec{u_1}}y_{\vec{u_2}} - y_{\vec{u_1}}x_{\vec{u_2}} = (2)(-6) - (3)(-4) = -12 - (-12) = -12 + 12 = 0$. Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires, et donc les droites sont parallèles.