Exercice 1: Résoudre l'équation : $x^2 - 6x + 8 = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' ou 'x=valeur', en ordre croissant si plusieurs solutions)
Il s'agit d'une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Ici, $a=1, b=-6, c=8$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Les solutions sont $x=2$ et $x=4$.
Exercice 2: Résoudre l'équation : $x^2 + 4x + 4 = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur')
Il s'agit d'une équation du second degré. $a=1, b=4, c=4$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. Puisque $\Delta = 0$, il y a une solution réelle double : $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(1)} = -2$. La solution est $x=-2$.
Exercice 3: Résoudre l'équation : $x^2 + 2x + 5 = 0$. (Répondre par 'pas de solution')
Il s'agit d'une équation du second degré. $a=1, b=2, c=5$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. Puisque $\Delta < 0$, il n'y a pas de solutions réelles.
Exercice 4: Résoudre l'équation : $3x^2 - 9x = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2', en ordre croissant si plusieurs solutions)
On peut factoriser l'équation : $3x(x - 3) = 0$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. $3x = 0 \implies x = 0$. $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Les solutions sont $x=0$ et $x=3$.
Exercice 5: Résoudre l'équation : $2x^2 - 18 = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' en ordre croissant)
On peut isoler $x^2$: $2x^2 = 18$ $x^2 = \frac{18}{2}$ $x^2 = 9$. Donc $x = \sqrt{9}$ ou $x = -\sqrt{9}$. Les solutions sont $x=3$ ou $x=-3$. En ordre croissant : $x=-3$ ou $x=3$.
Exercice 6: Résoudre l'équation : $(x+5)(x-1) = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' en ordre croissant)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. $x+5 = 0 \implies x = -5$. $x-1 = 0 \implies x = 1$. Les solutions sont $x=-5$ ou $x=1$.
Exercice 7: Résoudre l'équation : $(x+2)^2 = 9$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' en ordre croissant)
$(x+2)^2 = 9$ On prend la racine carrée des deux côtés : $x+2 = \sqrt{9}$ ou $x+2 = -\sqrt{9}$ $x+2 = 3$ ou $x+2 = -3$ Pour le premier cas : $x = 3 - 2 = 1$. Pour le second cas : $x = -3 - 2 = -5$. Les solutions sont $x=-5$ ou $x=1$.