Exercice 1: Convertir $120^{\circ}$ en radians. (Répondre sous la forme 'Xpi/Y' ou 'Xpi' sans espaces)
Pour convertir des degrés en radians, on utilise la relation $180^{\circ} = \pi$ radians. Donc $120^{\circ} = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{12}{18}\pi = \frac{2}{3}\pi$ radians.
Exercice 2: Convertir $\frac{3\pi}{4}$ radians en degrés. (Répondre par la valeur exacte en degrés)
Pour convertir des radians en degrés, on utilise la relation $\pi$ radians = $180^{\circ}$. Donc $\frac{3\pi}{4}$ radians = $\frac{3}{4} \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}$.
Exercice 3: Calculer $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$. (Répondre par la valeur exacte sous forme de fraction 'X/Y' ou nombre entier)
La valeur du cosinus de $\frac{\pi}{3}$ radians (ou $60^{\circ}$) est $\frac{1}{2}$.
Exercice 4: Calculer $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$. (Répondre par la valeur exacte sous forme 'sqrt(X)/Y' sans espaces)
La valeur du sinus de $\frac{\pi}{4}$ radians (ou $45^{\circ}$) est $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Exercice 5: Résoudre l'équation $\cos(x) = \frac{1}{2}$ dans $[0; 2\pi[$. (Répondre sous la forme 'x=pi/Y ou x=Zpi/W' en ordre croissant, sans espaces, avec pi comme 'pi')
On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Dans $[0; 2\pi[$, les solutions sont $x = \frac{\pi}{3}$ et $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$. Les solutions sont $x=\frac{\pi}{3}$ ou $x=\frac{5\pi}{3}$.
Exercice 6: Résoudre l'équation $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[-\pi; \pi]$. (Répondre sous la forme 'x=pi/Y ou x=Zpi/W' en ordre croissant, sans espaces, avec pi comme 'pi')
On sait que $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Dans $[-\pi; \pi]$, les solutions sont $x = -\frac{\pi}{3}$ et $x = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ (qui est hors intervalle), ou $x = -\pi - (-\frac{\pi}{3}) = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$. Les solutions sont $x=-\frac{2\pi}{3}$ et $x=-\frac{\pi}{3}$.
Exercice 7: Si $\cos(x) = \frac{3}{5}$ et $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, calculer $\sin(x)$. (Répondre par la valeur exacte sous forme de fraction 'X/Y')
On utilise la relation fondamentale de la trigonométrie : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \sin^2(x) = 1$ $\frac{9}{25} + \sin^2(x) = 1$ $\sin^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$. Donc $\sin(x) = \sqrt{\frac{16}{25}}$ ou $\sin(x) = -\sqrt{\frac{16}{25}}$. $\sin(x) = \frac{4}{5}$ ou $\sin(x) = -\frac{4}{5}$. Puisque $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, $\sin(x)$ doit être positif. Donc $\sin(x) = \frac{4}{5}$.