Exercice 1: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = (x^2+1)(2x-3)$. (Répondre sous la forme 'ax^n+bx^(n-1)+...' sans espaces)
On utilise la formule de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Soit $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. Soit $v(x) = 2x-3$, donc $v'(x) = 2$. $f'(x) = 2x(2x-3) + (x^2+1)(2)$ $f'(x) = 4x^2 - 6x + 2x^2 + 2$ $f'(x) = 6x^2 - 6x + 2$.
Exercice 2: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = (3x-2)^2$. (Répondre sous la forme 'a(bx+c)' sans espaces)
On utilise la formule de dérivation de $(u^n)' = nu^{n-1}u'$. Ici $u(x) = 3x-2$, donc $u'(x) = 3$. Et $n=2$. $f'(x) = 2(3x-2)^{2-1} \cdot 3$ $f'(x) = 6(3x-2)$.
Exercice 3: Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ au point d'abscisse $x_0 = 0$.
Le coefficient directeur de la tangente est $f'(x_0)$. On utilise la formule de dérivation de $\frac{1}{u}$ qui est $-\frac{u'}{u^2}$. Ici $u(x) = x^2+1$, donc $u'(x) = 2x$. $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$. Alors $f'(0) = -\frac{2(0)}{(0^2+1)^2} = -\frac{0}{1} = 0$.
Exercice 4: Pour la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2$, trouver les abscisses des points où la tangente est horizontale. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' ou 'x=valeur', en ordre croissant)
La tangente est horizontale lorsque la dérivée est nulle. $f'(x) = 3x^2 - 6x$. On cherche $f'(x) = 0$: $3x^2 - 6x = 0$ $3x(x - 2) = 0$ Donc $3x = 0 \implies x=0$ ou $x-2 = 0 \implies x=2$. Les abscisses des points où la tangente est horizontale sont $x=0$ et $x=2$.
Exercice 5: La tangente à la courbe d'une fonction $g$ au point $A(1; 5)$ a pour équation $y = -2x + 7$. Quelle est la valeur du taux de variation instantané de $g$ en $x=1$ ? (Répondre par la valeur exacte)
Le taux de variation instantané d'une fonction en un point est donné par le nombre dérivé en ce point, qui est le coefficient directeur de la tangente. L'équation de la tangente est $y = -2x + 7$, donc son coefficient directeur est $-2$. Par conséquent, $g'(1) = -2$.
Exercice 6: On considère la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$. (Répondre par 'positif sur [a,+inf[ et negatif sur ]-inf,a]' ou 'negatif sur ]-inf,a] et positif sur [a,+inf[')
On calcule la dérivée : $f'(x) = 2x - 6$. Pour étudier le signe de $f'(x)$, on résout $2x - 6 = 0$: $2x = 6 \implies x = 3$. Si $x < 3$, $2x < 6$, donc $2x - 6 < 0$. Si $x > 3$, $2x > 6$, donc $2x - 6 > 0$. Donc $f'(x)$ est négatif sur $]-\infty;3]$ et positif sur $[3;+\infty[$.
Exercice 7: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \sqrt{2x+5}$. (Répondre sous la forme 'a/sqrt(bx+c)' sans espaces)
On utilise la formule de dérivation de $\sqrt{u}$ qui est $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Ici $u(x) = 2x+5$, donc $u'(x) = 2$. $f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+5}} = \frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.