Exercice 1: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7$. (Répondre sous la forme 'ax^n+bx^(n-1)+...' sans espaces)
La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. $f'(x) = 4 \cdot 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 1 \cdot x^{1-1} - 0$ $f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$.
Exercice 2: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = (3x+1)e^x$. (Répondre sous la forme '(... )e^x' sans espaces)
On utilise la formule de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Soit $u(x) = 3x+1$, donc $u'(x) = 3$. Soit $v(x) = e^x$, donc $v'(x) = e^x$. $f'(x) = 3 \cdot e^x + (3x+1) \cdot e^x$ $f'(x) = e^x (3 + 3x + 1) = e^x (3x+4) = (3x+4)e^x$.
Exercice 3: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. (Répondre sous la forme 'valeur/(x-3)^2' sans espaces, valeur peut être négative)
On utilise la formule de dérivation du quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Soit $u(x) = 2x+1$, donc $u'(x) = 2$. Soit $v(x) = x-3$, donc $v'(x) = 1$. $f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1)(1)}{(x-3)^2}$ $f'(x) = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2}$ $f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2}$.
Exercice 4: Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$. (Répondre sous la forme '-1/x^2+1/(2sqrt(x))' sans espaces)
La dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$. La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Exercice 5: Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - x + 2$ au point d'abscisse $x_0 = 2$. (Répondre sous la forme 'y=ax+b' sans espaces)
L'équation de la tangente au point d'abscisse $x_0$ est $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. 1. Calculer $f(x_0)$: $f(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4$. 2. Calculer $f'(x)$: $f'(x) = 2x - 1$. 3. Calculer $f'(x_0)$: $f'(2) = 2(2) - 1 = 3$. 4. Substituer dans la formule : $y = 3(x - 2) + 4$ $y = 3x - 6 + 4$ $y = 3x - 2$.
Exercice 6: La dérivée d'une fonction $f$ est $f'(x) = x(x-1)$. Déterminer les intervalles où $f$ est croissante. (Répondre sous la forme d'un intervalle ou union d'intervalles, ex: ']-inf;a]U[b;+inf[')
La fonction $f$ est croissante lorsque sa dérivée $f'(x)$ est positive ou nulle. $f'(x) = x(x-1)$ est un polynôme du second degré de racines $0$ et $1$. Le coefficient dominant est positif ($1$). Donc $f'(x) \ge 0$ lorsque $x \le 0$ ou $x \ge 1$. La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;0] \cup [1;+\infty[$.
Exercice 7: Si la tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse $x=3$ a pour coefficient directeur $-5$, quelle est la valeur de $f'(3)$ ? (Répondre par la valeur exacte)
Le nombre dérivé $f'(x_0)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$. Donc, $f'(3) = -5$.