Exercice 1: Résoudre l'inéquation $e^x > e^{-2}$. (Répondre sous la forme d'un intervalle, ex: ']-inf;a]', '[a;+inf[', '[a;b]')
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Donc $e^x > e^{-2} \iff x > -2$. L'ensemble des solutions est $]-2;+\infty[$.
Exercice 2: Résoudre l'équation $e^x = e^3$. (Répondre sous la forme 'x=valeur')
La fonction exponentielle est strictement monotone, donc $e^A = e^B \iff A = B$. $e^x = e^3 \implies x = 3$.
Exercice 3: Résoudre l'équation $e^{2x-1} = 1$. (Répondre sous la forme 'x=valeur')
On sait que $e^0 = 1$. Donc $e^{2x-1} = e^0$. Par injectivité de l'exponentielle : $2x-1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$.
Exercice 4: Simplifier l'expression $e^{x+1} \cdot e^{2x-3}$. (Répondre sous la forme 'e^(expression)' sans espaces)
On utilise la propriété $e^A \cdot e^B = e^{A+B}$. $e^{x+1} \cdot e^{2x-3} = e^{(x+1) + (2x-3)} = e^{x+1+2x-3} = e^{3x-2}$.
Exercice 5: Simplifier l'expression $(e^{-x})^3$. (Répondre sous la forme 'e^(expression)' ou 'e^(-expression)' sans espaces)
On utilise la propriété $(e^A)^B = e^{A \cdot B}$. $(e^{-x})^3 = e^{-x \cdot 3} = e^{-3x}$.
Exercice 6: Simplifier l'expression $\frac{e^{x+2}}{e^{x-1}}$. (Répondre sous la forme 'e^valeur' ou 'e^(-valeur)')
On utilise la propriété $\frac{e^A}{e^B} = e^{A-B}$. $\frac{e^{x+2}}{e^{x-1}} = e^{(x+2)-(x-1)} = e^{x+2-x+1} = e^3$.
Exercice 7: Résoudre l'équation $e^{5x} = \frac{1}{e^{x+2}}$. (Répondre sous la forme 'x=valeur' ou 'x=fraction' sans espaces)
On utilise la propriété $\frac{1}{e^A} = e^{-A}$. $e^{5x} = e^{-(x+2)}$ $e^{5x} = e^{-x-2}$ Par injectivité de l'exponentielle : $5x = -x-2$ $6x = -2$ $x = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.