Exercice 1: Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Calculer $u_4$.
Pour une suite arithmétique, $u_n = u_0 + n \cdot r$. $u_4 = 5 + 4 \cdot 3 = 5 + 12 = 17$.
Exercice 2: Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 4$ et de raison $q = 2$. Calculer $v_3$.
Pour une suite géométrique, $v_n = v_0 \cdot q^n$. $v_3 = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32$.
Exercice 3: Calculer la somme $S = 1 + 2 + ... + 15$.
C'est la somme des 15 premiers entiers. La formule est $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. $S_{15} = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \cdot 16}{2} = 15 \cdot 8 = 120$.
Exercice 4: Calculer la somme $S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4$.
C'est la somme des 5 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $3$. La formule est $S_n = v_0 \frac{1 - q^n}{1 - q}$. Ici $v_0=1, q=3, n=5$. $S_5 = 1 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = \frac{1 - 243}{-2} = \frac{-242}{-2} = 121$.
Exercice 5: Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + n$. Calculer $u_3$.
$u_0 = 1$ $u_1 = u_0 + 0 = 1 + 0 = 1$ $u_2 = u_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ $u_3 = u_2 + 2 = 2 + 2 = 4$
Exercice 6: Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 - 5n + 1$ pour tout $n \ge 0$. Déterminer son sens de variation pour $n \ge 3$. (Répondre par 'croissante' ou 'décroissante')
On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. $u_{n+1} - u_n = ((n+1)^2 - 5(n+1) + 1) - (n^2 - 5n + 1)$ $= (n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 + 1) - (n^2 - 5n + 1)$ $= n^2 - 3n - 3 - n^2 + 5n - 1$ $= 2n - 4$. On cherche le signe de $2n - 4$: $2n - 4 > 0 \iff 2n > 4 \iff n > 2$. Donc, pour $n \ge 3$, $2n-4 > 0$, ce qui signifie $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est donc croissante pour $n \ge 3$.
Exercice 7: Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3 + \frac{(-1)^n}{n}$ quand $n \to +\infty$. (Répondre par la valeur exacte)
Lorsque $n \to +\infty$, le terme $\frac{(-1)^n}{n}$ tend vers 0. En effet, $-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$. Comme $\lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, par le théorème des gendarmes, $\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} (3 + \frac{(-1)^n}{n}) = 3 + 0 = 3$.