Exercice 1: Déterminer le signe de la fonction $f(x) = (x-2)(x+3)$. (Répondre sous la forme d'un intervalle ou union d'intervalles où f(x) est positif, ex: ']-inf;a]U[b;+inf[', ou 'R', ou 'ensemble_vide')
La fonction $f(x) = (x-2)(x+3)$ est un polynôme du second degré de la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a=1$. Les racines sont $x_1 = -3$ et $x_2 = 2$. Comme $a=1 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. Signe de $f(x)$ : ``` x | -inf -3 2 +inf -----|--------------------- f(x) | + 0 - 0 + ``` $f(x) \ge 0$ pour $x \in ]-\infty;-3] \cup [2;+\infty[$.
Exercice 2: Déterminer le signe de la fonction $f(x) = x^2 - 5x + 6$. (Répondre sous la forme d'un intervalle ou union d'intervalles où f(x) est positif)
On étudie le signe du trinôme $x^2 - 5x + 6$. Les racines de $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont : $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$. $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Comme le coefficient de $x^2$ est positif ($a=1>0$), le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. $f(x) \ge 0$ pour $x \in ]-\infty;2] \cup [3;+\infty[$.
Exercice 3: Déterminer le signe de la fonction $f(x) = -x^2 + x - 1$. (Répondre sous la forme d'un intervalle où f(x) est positif, ou 'ensemble_vide')
On étudie le signe du trinôme $-x^2 + x - 1$. Les racines de $-x^2 + x - 1 = 0$ sont : $\Delta = 1^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3$. Puisque $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($a=-1<0$), le trinôme est toujours négatif sur $\mathbb{R}$. Donc, $f(x) > 0$ n'a pas de solution. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide ($emptyset$).
Exercice 4: Déterminer le signe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 4$. (Répondre sous la forme d'un intervalle ou union d'intervalles où f(x) est positif)
On étudie le signe du trinôme $x^2 - 4x + 4$. On remarque que $f(x) = (x-2)^2$. Un carré est toujours positif ou nul. Donc $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Les racines de $x^2 - 4x + 4 = 0$ sont : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. Il y a une racine double $x_0 = \frac{4}{2} = 2$. Comme le coefficient de $x^2$ est positif ($a=1>0$), le trinôme est positif ou nul partout. Il est nul en $x=2$ et strictement positif ailleurs. $f(x) \ge 0$ pour $x \in \mathbb{R}$.
Exercice 5: Déterminer le signe de la fonction $f(x) = -2x^2 + 7x - 3$. (Répondre sous la forme d'un intervalle ou union d'intervalles où f(x) est positif)
On étudie le signe du trinôme $-2x^2 + 7x - 3$. Les racines de $-2x^2 + 7x - 3 = 0$ sont : $\Delta = 7^2 - 4(-2)(-3) = 49 - 24 = 25$. $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-7 - 5}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$. $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-7 + 5}{-4} = \frac{-2}{-4} = 0.5$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($a=-2<0$), le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur des racines. Signe de $f(x)$ : ``` x | -inf 0.5 3 +inf -----|--------------------- f(x) | - 0 + 0 - ``` $f(x) \ge 0$ pour $x \in [0.5;3]$.
Exercice 6: Déterminer le signe de la fonction $f(x) = -3(x+1)(x-4)$. (Répondre sous la forme d'un intervalle ou union d'intervalles où f(x) est positif)
La fonction $f(x) = -3(x+1)(x-4)$ est un polynôme du second degré de la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a=-3$. Les racines sont $x_1 = -1$ et $x_2 = 4$. Comme $a=-3 < 0$, le trinôme est positif entre les racines et négatif à l'extérieur des racines. Signe de $f(x)$ : ``` x | -inf -1 4 +inf -----|--------------------- f(x) | - 0 + 0 - ``` $f(x) \ge 0$ pour $x \in [-1;4]$.
Exercice 7: Déterminer le signe de la fonction $f(x) = -x^2 - 2x - 5$. (Répondre sous la forme d'un intervalle où f(x) est positif, ou 'ensemble_vide')
On étudie le signe du trinôme $-x^2 - 2x - 5$. Les racines de $-x^2 - 2x - 5 = 0$ sont : $\Delta = (-2)^2 - 4(-1)(-5) = 4 - 20 = -16$. Puisque $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($a=-1<0$), le trinôme est toujours négatif sur $\mathbb{R}$. Donc, $f(x) > 0$ n'a pas de solution. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide ($emptyset$).