Exercice 1: Résoudre l'inéquation : $2x - 5 < 3x + 1$. (Répondre sous la forme d'un intervalle, ex: ']-inf;a]', '[a;+inf[', '[a;b]', etc. avec points-virgules pour séparer les bornes et sans espaces)
$2x - 5 < 3x + 1$ $2x - 3x < 1 + 5$ $-x < 6$ $x > -6$ L'ensemble des solutions est $]-6;+\infty[$.
Exercice 2: Résoudre l'inéquation : $x^2 - 4x + 3 \ge 0$. (Répondre sous la forme d'un intervalle ou une union d'intervalles, ex: ']-inf;a]U[b;+inf[', sans espaces ni point-virgule si un seul intervalle)
On étudie le signe du trinôme $x^2 - 4x + 3$. Les racines de $x^2 - 4x + 3 = 0$ sont : $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$. $x_1 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$. $x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$. Comme le coefficient de $x^2$ est positif ($a=1>0$), le trinôme est positif à l'extérieur des racines. L'ensemble des solutions est $]-\infty;1] \cup [3;+\infty[$.
Exercice 3: Résoudre l'inéquation : $-x^2 + 2x - 1 > 0$. (Répondre sous la forme d'un intervalle, ex: ']-inf;a]', '[a;+inf[', '[a;b]', ou 'ensemble_vide' si pas de solution)
On étudie le signe du trinôme $-x^2 + 2x - 1$. Les racines de $-x^2 + 2x - 1 = 0$ sont : $\Delta = 2^2 - 4(-1)(-1) = 4 - 4 = 0$. Il y a une racine double $x_0 = \frac{-2}{2(-1)} = 1$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($a=-1<0$), le trinôme est négatif ou nul partout. Il est nul en $x=1$ et strictement négatif ailleurs. L'inégalité $-x^2 + 2x - 1 > 0$ n'a donc pas de solution. L'ensemble des solutions est l'ensemble vide ($emptyset$).
Exercice 4: Résoudre l'inéquation : $\frac{x+2}{x-1} \le 0$. (Répondre sous la forme d'un intervalle, ex: ']a;b]', ou 'ensemble_vide')
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur. Numérateur $x+2$ : s'annule pour $x=-2$. Positif si $x>-2$, négatif si $x<-2$. Dénominateur $x-1$ : s'annule pour $x=1$. Positif si $x>1$, négatif si $x<1$. Le dénominateur ne peut pas être nul, donc $x \ne 1$. Tableau de signes : ``` x | -inf -2 1 +inf -----|--------------------- x+2 | - 0 + + -----|--------------------- x-1 | - - 0 + -----|--------------------- frac | + 0 - || + ``` L'expression est $\le 0$ lorsque $x \in [-2;1[$. Le crochet est ouvert en 1 car le dénominateur ne peut pas être nul.
Exercice 5: Résoudre l'inéquation : $-(x-3) \ge 2(x+1)$. (Répondre sous la forme d'un intervalle)
$-(x-3) \ge 2(x+1)$ $-x + 3 \ge 2x + 2$ $3 - 2 \ge 2x + x$ $1 \ge 3x$ $x \le \frac{1}{3}$ L'ensemble des solutions est $]-\infty;\frac{1}{3}]$.
Exercice 6: Résoudre l'inéquation : $(x-1)(x+4) < 0$. (Répondre sous la forme d'un intervalle)
On cherche le signe du produit $(x-1)(x+4)$. Les racines sont $x=1$ et $x=-4$. Le produit est un trinôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est positif ($1 \cdot 1 = 1$). Le trinôme est négatif entre ses racines. L'ensemble des solutions est $]-4;1[$.
Exercice 7: Résoudre l'inéquation : $x^2 + 2x + 5 > 0$. (Répondre sous la forme d'un intervalle, ex: 'R' pour tout réel)
On étudie le signe du trinôme $x^2 + 2x + 5$. Les racines de $x^2 + 2x + 5 = 0$ : $\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. Puisque $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles. Comme le coefficient de $x^2$ est positif ($a=1>0$), le trinôme est toujours positif. L'inégalité $x^2 + 2x + 5 > 0$ est vraie pour tout réel $x$. L'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$.