Annales Bac 2026 : Produit Scalaire & Géométrie
Exercice 1 : Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points $A(-1 ; 5)$, $B(3 ; 5)$ et $C(4 ; 0)$.
1.1. Calculer la valeur exacte du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. (Répondre par le nombre entier)
Solution officielle :
Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
$\vec{AB} = (3 - (-1) ; 5 - 5) = (4 ; 0)$.
$\vec{AC} = (4 - (-1) ; 0 - 5) = (5 ; -5)$.
Le produit scalaire est $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_{\vec{AB}} x_{\vec{AC}} + y_{\vec{AB}} y_{\vec{AC}} = 4 \times 5 + 0 \times (-5) = 20$.
1.2. En déduire la mesure exacte (en radians) de l'angle $\widehat{BAC}$. (Répondre sous la forme 'pi/4' ou 'pi/3'...)
Solution officielle :
Calculons les normes des deux vecteurs :
$AB = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
$AC = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
D'après la formule trigonométrique du produit scalaire :
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) \iff 20 = 4 \times 5\sqrt{2} \times \cos(\widehat{BAC}) \iff 20 = 20\sqrt{2} \cos(\widehat{BAC})$.
Par suite $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{20}{20\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
La mesure remarquable dans $[0 ; \pi]$ est donc $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{4}$ radians (soit $45^\circ$).