Annales Bac 2026 : Dérivation & Exponentielle
Exercice 1 : On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = (4x - 4) e^{-0,5x} + 5$$
Sa fonction dérivée $f'$ est donnée par $f'(x) = (-2x + 6) e^{-0,5x}$.
1.1. Pour quelle valeur réelle $x_0$ la dérivée $f'(x)$ s'annule-t-elle ? (Répondre par le nombre exact)
Solution officielle :
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, l'exponentielle $e^{-0,5x} > 0$.
Ainsi $f'(x) = 0 \iff -2x + 6 = 0 \iff 2x = 6 \iff x = 3$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 3$.
1.2. Quel est le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[3 ; +\infty[$ ? (Répondre 'croissante' ou 'decroissante')
Solution officielle :
Pour $x > 3$, $-2x + 6 < 0$, donc $f'(x) < 0$.
Par conséquent, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[3 ; +\infty[$.
Exercice 2 : Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (3x - 1) e^x$.
2.1. Quelle est l'équation réduite de la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse $x = 0$ ? (Répondre sous la forme 'y=ax+b')
Solution officielle :
Calculons $g(0)$ et $g'(0)$ :
- $g(0) = (3(0) - 1)e^0 = -1$.
- Par produit $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, avec $u(x) = 3x-1 \implies u'(x)=3$ et $v(x)=e^x \implies v'(x)=e^x$.
$g'(x) = 3e^x + (3x-1)e^x = (3x + 2)e^x$.
- $g'(0) = (3(0) + 2)e^0 = 2$.
L'équation de la tangente en $x=0$ est $y = g'(0)(x - 0) + g(0) \implies y = 2x - 1$.