Annales Bac 2026 : Suites Numériques & Algorithmes Python
Exercice 1 : En janvier 2025, la valeur d'une voiture est de 10 000 €. On suppose que chaque année, sa valeur diminue de 10 %.
Pour tout entier $n \ge 0$, on note $u_n$ la valeur de la voiture (en €) en janvier de l'année $(2025 + n)$. Ainsi $u_0 = 10\,000$.
1.1. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ et sa raison $q$ ? (Répondre sous la forme 'geometrique de raison q' avec q décimal)
Solution officielle :
Une baisse de 10 % correspond à un coefficient multiplicateur $1 - \frac{10}{100} = 0,9$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 0,9 u_n$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et de premier terme $u_0 = 10\,000$.
1.2. Calculer la valeur exacte de la voiture en janvier 2030 ($n=5$). (Donnée : $0,9^5 = 0,59049$)
Solution officielle :
En 2030, l'indice de l'année est $n = 2030 - 2025 = 5$.
$u_5 = u_0 \times q^5 = 10\,000 \times 0,9^5 = 10\,000 \times 0,59049 = 5\,904,9$ €.
1.3. En quelle année la voiture aura-t-elle perdu plus des trois quarts (75 %) de sa valeur initiale (soit quand $u_n < 2500$) sachant que l'algorithme Python `seuil(2500)` renvoie $n = 14$ ?
Solution officielle :
Une perte de plus des $3/4$ signifie qu'il reste moins de $25\%$ de la valeur initiale, soit $u_n < 2\,500$ €.
Puisque l'algorithme donne le premier entier $n = 14$ vérifiant cette inéquation, la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur en l'année $2025 + 14 = 2039$.