Annales Bac 2026 : Probabilités Conditionnelles & Variables Aléatoires
Exercice 1 : Une urne contient 10 boules (1 rouge et 9 vertes). Un joueur paye 1 € pour participer. Il tire une première boule, note sa couleur et la remet dans l'urne. Il tire ensuite une deuxième boule avec remise.
- S'il tire 2 boules rouges, il reçoit 3 €.
- S'il tire 2 boules vertes, il reçoit 1 €.
- Sinon, il ne reçoit rien.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur (somme reçue moins le frais de 1 €).
1.1. Quelle est la probabilité que le joueur perde 1 € (c'est-à-dire $P(X = -1)$) ? (Répondre sous forme d'une fraction irréductible 'a/b' ou d'un nombre décimal)
Solution officielle :
Le joueur perd 1 € s'il ne reçoit rien (gain net = $0 - 1 = -1 €$). C'est le cas s'il tire une boule Rouge puis une Verte, ou une Verte puis une Rouge.
$P(\text{Rouge puis Verte}) = \frac{1}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$.
$P(\text{Verte puis Rouge}) = \frac{9}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$.
Donc $P(X = -1) = 0,09 + 0,09 = \frac{18}{100} = 0,18$.
1.2. Calculer l'espérance $E(X)$ de ce jeu. (Répondre par un nombre décimal exact)
Solution officielle :
Les valeurs prises par $X$ sont :
- $X = 2$ (2 rouges) avec probabilité $P(X=2) = \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = 0,01$.
- $X = 0$ (2 vertes) avec probabilité $P(X=0) = \frac{9}{10} \times \frac{9}{10} = 0,81$.
- $X = -1$ (sinon) avec probabilité $P(X=-1) = 0,18$.
L'espérance est $E(X) = 2 \times 0,01 + 0 \times 0,81 + (-1) \times 0,18 = 0,02 - 0,18 = -0,16$ €.
En moyenne, le joueur perd 16 centimes par partie. Le jeu est défavorable au joueur.
Exercice 2 : Dans un cinéma :
- 60 % des spectateurs sont abonnés ($A$).
- Parmi les abonnés, 40 % sont jeunes ($J$).
- Parmi les non-abonnés, 20 % sont jeunes.
2.1. Calculer la probabilité globale $P(J)$ qu'un spectateur choisi au hasard soit jeune. (Répondre sous forme décimale)
Solution officielle :
Par la formule des probabilités totales :
$P(J) = P(A \cap J) + P(\overline{A} \cap J) = P(A) \times P_A(J) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(J)$
$P(J) = 0,60 \times 0,40 + 0,40 \times 0,20 = 0,24 + 0,08 = 0,32$.
2.2. Si l'on interroge un spectateur JEUNE au hasard, quelle est la probabilité $P_J(A)$ qu'il soit abonné ? (Répondre sous forme décimale)
Solution officielle :
Par définition de la probabilité conditionnelle :
$P_J(A) = \frac{P(A \cap J)}{P(J)} = \frac{0,24}{0,32} = \frac{24}{32} = 0,75$.
Il y a donc 75 % de chances (3 chances sur 4) qu'un spectateur jeune soit abonné.