Exercice 1: Dans une classe de 30 élèves, 18 font du sport et 12 jouent d'un instrument. 8 élèves font du sport ET jouent d'un instrument. Un élève est choisi au hasard. Quelle est la probabilité qu'il joue d'un instrument SACHANT qu'il fait du sport ? (Répondre sous la forme d'une fraction irréductible 'X/Y' ou un nombre décimal)
Soit S l'événement 'l'élève fait du sport' et I l'événement 'l'élève joue d'un instrument'. On a $P(S) = 18/30 = 3/5$ et $P(I \cap S) = 8/30 = 4/15$. La probabilité qu'il joue d'un instrument sachant qu'il fait du sport est $P_S(I) = P(I|S) = \frac{P(I \cap S)}{P(S)}$. $P(I|S) = \frac{8/30}{18/30} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
Exercice 2: Dans une usine, la machine A produit 60% des pièces, la machine B 40%. La machine A produit 5% de pièces défectueuses, la machine B produit 10% de pièces défectueuses. Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse ? (Répondre par un nombre décimal)
Soit A l'événement 'la pièce vient de la machine A' et B l'événement 'la pièce vient de la machine B'. Soit D l'événement 'la pièce est défectueuse'. $P(A) = 0.60$, $P(B) = 0.40$. $P_A(D) = P(D|A) = 0.05$, $P_B(D) = P(D|B) = 0.10$. On utilise la formule des probabilités totales : $P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)$. $P(D) = (0.05)(0.60) + (0.10)(0.40) = 0.03 + 0.04 = 0.07$.
Exercice 3: On lance un dé équilibré. Soit A l'événement 'obtenir un nombre pair' et B l'événement 'obtenir un multiple de 3'. Les événements A et B sont-ils indépendants ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Les issues sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}. $A = \{2, 4, 6\}$, donc $P(A) = 3/6 = 1/2$. $B = \{3, 6\}$, donc $P(B) = 2/6 = 1/3$. $A \cap B = \{6\}$, donc $P(A \cap B) = 1/6$. Les événements A et B sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. $P(A) \times P(B) = (1/2) \times (1/3) = 1/6$. Puisque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ (à savoir $1/6 = 1/6$), les événements A et B SONT indépendants. **Correction de la solution et de la réponse pour l'exercice 3** La solution donnée était contradictoire avec le calcul. L'affirmation dans la question et l'attendue `non` étaient incorrectes. L'événement 6 est à la fois pair et un multiple de 3, et le produit des probabilités est égal à la probabilité de l'intersection. Je vais corriger la réponse attendue à `oui` et la solution.
Exercice 4: On sait que $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ et $P(A \cap B) = 0.2$. Calculer $P_A(B)$ (probabilité de B sachant A). (Répondre par un nombre décimal)
La formule de la probabilité conditionnelle est $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$. $P_A(B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$.
Exercice 5: Sur un arbre de probabilité, une branche mène de l'événement E (probabilité 0.7) à l'événement F (probabilité conditionnelle $P_E(F) = 0.8$). Quelle est la probabilité de l'événement $E \cap F$ ? (Répondre par un nombre décimal)
La probabilité de l'intersection de deux événements peut être calculée par $P(E \cap F) = P(E) \times P_E(F)$. $P(E \cap F) = 0.7 \times 0.8 = 0.56$.
Exercice 6: Une maladie touche 1% de la population. Un test est positif à 95% si la personne est malade, et positif à 2% si la personne n'est PAS malade. Si une personne est testée positive, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ? (Arrondir à 4 décimales)
Soit M l'événement 'être malade' et T l'événement 'être testé positif'. $P(M) = 0.01$, $P(\overline{M}) = 0.99$. $P(T|M) = 0.95$, $P(T|\overline{M}) = 0.02$. On cherche $P(M|T)$. On utilise la formule de Bayes : $P(M|T) = \frac{P(T|M)P(M)}{P(T)}$. D'abord, calculons $P(T)$ avec la formule des probabilités totales : $P(T) = P(T|M)P(M) + P(T|\overline{M})P(\overline{M})$ $P(T) = (0.95)(0.01) + (0.02)(0.99)$ $P(T) = 0.0095 + 0.0198 = 0.0293$. Maintenant, calculons $P(M|T)$: $P(M|T) = \frac{0.0095}{0.0293} \approx 0.324232...$ Arrondi à 4 décimales : $0.3242$. **Correction de la réponse et solution pour l'exercice 6.** La réponse fournie était 0.3236, qui est légèrement différente du calcul. Je vais utiliser la valeur calculée et arrondie à 4 décimales pour la cohérence.
Exercice 7: On a $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.3$, et A et B sont indépendants. Calculer $P(A \cup B)$. (Répondre par un nombre décimal)
Si A et B sont indépendants, alors $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. $P(A \cap B) = 0.6 \times 0.3 = 0.18$. La formule de l'union est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. $P(A \cup B) = 0.6 + 0.3 - 0.18 = 0.9 - 0.18 = 0.72$.