Exercice 1: On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? (Répondre sous la forme d'une fraction irréductible 'X/Y' ou un nombre entier)
Les issues possibles sont {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Il y a 6 issues au total. Les issues favorables (nombres pairs) sont {2, 4, 6}. Il y a 3 issues favorables. La probabilité est (nombre d'issues favorables) / (nombre total d'issues) = 3/6 = 1/2.
Exercice 2: Dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité de tirer un roi OU un cœur ? (Répondre sous la forme d'une fraction irréductible)
Soit R l'événement 'tirer un roi' et C l'événement 'tirer un cœur'. Il y a 4 rois dans un jeu de 32 cartes, donc $P(R) = 4/32$. Il y a 8 cœurs dans un jeu de 32 cartes, donc $P(C) = 8/32$. L'intersection R $\cap$ C est 'tirer le roi de cœur'. Il y a 1 roi de cœur, donc $P(R \cap C) = 1/32$. La probabilité de R ou C est $P(R \cup C) = P(R) + P(C) - P(R \cap C)$. $P(R \cup C) = 4/32 + 8/32 - 1/32 = (4+8-1)/32 = 11/32$.
Exercice 3: La probabilité qu'il pleuve demain est de 0.3. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve PAS demain ? (Répondre par un nombre décimal)
Soit A l'événement 'il pleuve demain'. On a $P(A) = 0.3$. L'événement 'il ne pleuve pas demain' est l'événement contraire de A, noté $\overline{A}$. $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
Exercice 4: Dans une urne, il y a 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire successivement et sans remise 2 boules. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ? (Répondre sous la forme d'une fraction irréductible)
Il y a 8 boules au total (5 rouges + 3 bleues). Probabilité de tirer une première boule rouge : $P(R_1) = 5/8$. Après avoir tiré une boule rouge, il reste 7 boules dans l'urne, dont 4 rouges. Probabilité de tirer une deuxième boule rouge sachant que la première était rouge : $P_{R_1}(R_2) = 4/7$. La probabilité de tirer 2 boules rouges est $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) = (5/8) \times (4/7) = 20/56 = 5/14$.
Exercice 5: Un sac contient 60% de boules vertes et 40% de boules jaunes. On tire une boule au hasard. Si elle est verte, on la remet et on en tire une autre. Si elle est jaune, on ne la remet pas et on en tire une autre. Quelle est la probabilité de tirer deux boules jaunes ? (Arrondir à 3 décimales si nécessaire)
Soit V1 l'événement 'première boule verte' et J1 l'événement 'première boule jaune'. Soit V2 l'événement 'deuxième boule verte' et J2 l'événement 'deuxième boule jaune'. $P(J1) = 0.40$. Si la première boule est jaune, elle n'est pas remise. Il reste 99 boules (si on suppose 100 boules au départ, 40 jaunes et 60 vertes), et 39 boules jaunes. $P_{J1}(J2) = 39/99 \approx 0.3939$. Probabilité de tirer deux boules jaunes : $P(J1 \cap J2) = P(J1) \times P_{J1}(J2) = 0.40 \times (39/99) = 0.40 \times 0.3939... \approx 0.1575...$. Re-calculons avec des proportions: Si on tire une jaune (40%), il reste 99 boules (si 100 au départ), et 39 jaunes. $P(J1 \cap J2) = 0.40 \times (39/99) \approx 0.157575...$. Arrondi à 3 décimales, cela fait $0.158$. **Correction de l'énoncé/solution pour être plus simple en Première:** L'énoncé classique est souvent avec un nombre total de boules qui change simplement, pas un pourcentage qui induit un nombre initial arbitraire. Nouvel énoncé pour l'exercice 5 (plus adapté Première) : "Une urne contient 10 boules : 6 vertes et 4 jaunes. On tire successivement et SANS remise 2 boules. Quelle est la probabilité de tirer deux boules jaunes ? (Répondre sous la forme d'une fraction irréductible)" Avec ce nouvel énoncé: $P(J1) = 4/10$. Après J1, il reste 9 boules dont 3 jaunes. $P_{J1}(J2) = 3/9$. $P(J1 \cap J2) = (4/10) \times (3/9) = (2/5) \times (1/3) = 2/15$. **Je reviens à l'exercice initial avec l'interprétation la plus simple des pourcentages, comme si c'était une grande population :** Si les pourcentages sont une représentation de probabilités. $P(J_1) = 0.4$. Si la première est jaune et n'est pas remise, la probabilité de tirer une autre jaune diminue. Le problème réside dans 'on la remet' vs 'on ne la remet pas' avec des pourcentages globaux. Je vais simplifier l'exercice pour qu'il soit plus clairement du niveau première avec un cas sans remise simple. Ou un cas avec remise. **Nouvel Exercice 5 (simplifié pour être clair en Première) :** "Un sac contient 60% de boules vertes et 40% de boules jaunes. On tire une boule au hasard, ON LA REMET, puis on en tire une deuxième. Quelle est la probabilité de tirer deux boules jaunes ? (Répondre par un nombre décimal)" Answer: "0.16" Solution: "Soit J1 l'événement 'première boule jaune' et J2 l'événement 'deuxième boule jaune'. $P(J1) = 0.40$. Puisque le tirage est AVEC remise, les événements sont indépendants. $P(J2) = 0.40$. Probabilité de tirer deux boules jaunes : $P(J1 \cap J2) = P(J1) \times P(J2) = 0.40 \times 0.40 = 0.16$.
Exercice 6: On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Soit A l'événement 'tirer un as' et B l'événement 'tirer un 7'. Les événements A et B sont-ils incompatibles ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Deux événements sont incompatibles (ou mutuellement exclusifs) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps, c'est-à-dire si leur intersection est l'ensemble vide ($A \cap B = \emptyset$). Il est impossible de tirer une carte qui soit à la fois un as et un 7. Donc les événements A et B sont incompatibles.
Exercice 7: On lance une pièce de monnaie 3 fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir AU MOINS un 'Face' ? (Répondre sous la forme d'une fraction irréductible)
L'événement 'obtenir AU MOINS un Face' est le contraire de l'événement 'obtenir AUCUN Face', c'est-à-dire 'obtenir que des Piles'. Il y a $2^3 = 8$ issues possibles pour 3 lancers (PPP, PPF, PFP, FPP, PFF, FPF, FFP, FFF). L'événement 'que des Piles' correspond à une seule issue : (P, P, P). Donc $P(\text{que des Piles}) = 1/8$. La probabilité d'obtenir AU MOINS un Face est $1 - P(\text{que des Piles}) = 1 - 1/8 = 7/8$.