Exercice 1: Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(2; -3)$ et $\vec{v}(5; 1)$. Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
La formule du produit scalaire avec les coordonnées est $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(5) + (-3)(1) = 10 - 3 = 7$.
Exercice 2: On donne $\|\vec{u}\| = 4$, $\|\vec{v}\| = 3$ et l'angle $(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\pi}{3}$ radians. Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$. (Répondre par la valeur exacte)
La formule du produit scalaire avec les normes et l'angle est $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos((\vec{u}, \vec{v}))$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 3 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.
Exercice 3: Les vecteurs $\vec{u}(3; 2)$ et $\vec{v}(-4; 6)$ sont-ils orthogonaux ? (Répondre par 'oui' ou 'non')
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. $\vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(-4) + (2)(6) = -12 + 12 = 0$. Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux.
Exercice 4: Sachant que $\vec{u} \cdot \vec{u} = 25$, calculer la norme $\|\vec{u}\|$. (Répondre par la valeur exacte)
On sait que $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$. Donc $\|\vec{u}\|^2 = 25$. Comme une norme est toujours positive, $\|\vec{u}\| = \sqrt{25} = 5$.
Exercice 5: Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A(1; 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3; -4)$. (Répondre sous la forme 'ax+by+c=0' sans espaces)
Une droite de vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ a une équation de la forme $ax+by+c=0$. Ici, $a=3$ et $b=-4$, donc $3x-4y+c=0$. Le point $A(1; 2)$ appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation : $3(1) - 4(2) + c = 0$ $3 - 8 + c = 0$ $-5 + c = 0 \implies c = 5$. L'équation de la droite est $3x-4y+5=0$.
Exercice 6: Dans un triangle équilatéral ABC de côté 4, calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$. (Répondre par la valeur exacte)
Dans un triangle équilatéral, tous les côtés ont la même longueur et tous les angles mesurent $60^{\circ}$ (ou $\frac{\pi}{3}$ radians). Donc $\|\vec{AB}\| = 4$, $\|\vec{AC}\| = 4$, et l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{\pi}{3}$. $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\| \cdot \cos((\vec{AB}, \vec{AC}))$ $= 4 \cdot 4 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$.
Exercice 7: Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = -10$, $\|\vec{u}\| = 5$ et $\|\vec{v}\| = 4$, calculer $\cos((\vec{u}, \vec{v}))$. (Répondre par la valeur exacte sous forme de fraction 'X/Y' ou nombre entier)
On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos((\vec{u}, \vec{v}))$. Donc $\cos((\vec{u}, \vec{v})) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$. $\cos((\vec{u}, \vec{v})) = \frac{-10}{5 \cdot 4} = \frac{-10}{20} = -\frac{1}{2}$.