Exercice 1: Mettre sous forme canonique la fonction $f(x) = x^2 + 4x + 3$. (Répondre sous la forme 'a(x-alpha)^2+beta' sans espaces, a, alpha, beta peuvent être négatifs)
La forme canonique d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ est $a(x-\alpha)^2 + \beta$. Pour $f(x) = x^2 + 4x + 3$ : $x^2 + 4x$ est le début de $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. Donc $x^2 + 4x + 3 = (x+2)^2 - 4 + 3 = (x+2)^2 - 1$. La forme canonique est $1(x-(-2))^2 + (-1)$.
Exercice 2: Mettre sous forme factorisée la fonction $f(x) = x^2 - 7x + 10$. (Répondre sous la forme 'a(x-x1)(x-x2)' sans espaces, en ordre croissant des racines, ou 'non_factorisable' si aucune racine réelle)
Pour factoriser $f(x) = x^2 - 7x + 10$, on cherche les racines de l'équation $x^2 - 7x + 10 = 0$. Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9$. Les racines sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$. La forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2) = 1(x-2)(x-5)$.
Exercice 3: Résoudre l'équation : $2x^2 - 5x + 2 = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' ou 'x=valeur' ou 'pas de solution', en ordre croissant si plusieurs solutions)
Il s'agit d'une équation du second degré. $a=2, b=-5, c=2$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$. $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Les solutions sont $x=0.5$ et $x=2$.
Exercice 4: Résoudre l'équation : $(x-3)(2x+1) = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2', en ordre croissant si plusieurs solutions)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. $(x-3) = 0 \implies x = 3$. $(2x+1) = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$. Les solutions sont $x=-0.5$ et $x=3$.
Exercice 5: Quelle forme (développée_reduite, canonique, factorisee) est la plus adaptée pour trouver les racines d'un polynôme du second degré ? (Répondre par le nom de la forme sans accent ni espace)
La forme factorisée d'un polynôme est $a(x-x_1)(x-x_2)$. Les racines $x_1$ et $x_2$ sont directement visibles.
Exercice 6: Développer l'expression $2(x-1)(x+3)$. (Répondre sous la forme 'ax^2+bx+c' sans espaces)
On développe d'abord $(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$. Ensuite, on multiplie par 2 : $2(x^2 + 2x - 3) = 2x^2 + 4x - 6$.
Exercice 7: Résoudre l'équation : $x^2 + x + 1 = 0$. (Répondre sous la forme 'x=valeur1 ou x=valeur2' ou 'x=valeur' ou 'pas de solution')
Il s'agit d'une équation du second degré. $a=1, b=1, c=1$. Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$. Puisque $\Delta < 0$, il n'y a pas de solutions réelles.