🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Suites Numériques (Convergence, Récurrence & Limites)
Formules clés, raisonnement par récurrence et théorèmes de convergence pour le Bac.
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Carte 1 : Quelles sont les 3 étapes d'un raisonnement par récurrence ? ▼
1. Initialisation : Vérifier que la propriété $P(n_0)$ est vraie pour le premier rang $n_0$.
2. Hérédité : Supposer $P(k)$ vraie pour un entier $k \ge n_0$ (hypothèse de récurrence) et démontrer que $P(k+1)$ est vraie.
3. Conclusion : La propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge n_0$.
2. Hérédité : Supposer $P(k)$ vraie pour un entier $k \ge n_0$ (hypothèse de récurrence) et démontrer que $P(k+1)$ est vraie.
3. Conclusion : La propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge n_0$.
Carte 2 : Quelle est l'expression du terme général $u_n$ d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ ? ▼
Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_n = u_0 \times q^n$$
Si le premier terme est $u_1$ :
$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
$$u_n = u_0 \times q^n$$
Si le premier terme est $u_1$ :
$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
Carte 3 : Que dit le Théorème de Convergence Monotone ? ▼
• Toute suite croissante et majorée est convergente.
• Toute suite décroissante et minorée est convergente.
(Attention : ce théorème donne l'existence de la limite mais pas sa valeur !)
• Toute suite décroissante et minorée est convergente.
(Attention : ce théorème donne l'existence de la limite mais pas sa valeur !)
Carte 4 : Quelle est la formule de la somme des termes d'une suite géométrique $1 + q + q^2 + \dots + q^n$ ($q \neq 1$) ? ▼
$$S_n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
De manière générale :
$$\text{Somme} = \text{1er terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$$
De manière générale :
$$\text{Somme} = \text{1er terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$$
Carte 5 : Quelle est la limite de $q^n$ quand $n \to +\infty$ selon les valeurs de $q$ ? ▼
• Si $q > 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$
• Si $q = 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$
• Si $-1 < q < 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$
• Si $q \le -1$ : pas de limite (la suite n'a pas de limite).
• Si $q = 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$
• Si $-1 < q < 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$
• Si $q \le -1$ : pas de limite (la suite n'a pas de limite).