🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Probabilités Conditionnelles & Loi Binomiale
Arbres pondérés, formule des probabilités totales, coefficients binomiaux et loi $\mathcal{B}(n, p)$.
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Carte 1 : Quelle est la formule des probabilités totales pour une partition $(A_1, A_2, \dots, A_k)$ ? ▼
Pour tout événement $B$ :
$$P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + \dots + P(B \cap A_k)$$
Soit avec les probabilités conditionnelles :
$$P(B) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(B) + P(A_2) \cdot P_{A_2}(B) + \dots + P(A_k) \cdot P_{A_k}(B)$$
$$P(B) = P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + \dots + P(B \cap A_k)$$
Soit avec les probabilités conditionnelles :
$$P(B) = P(A_1) \cdot P_{A_1}(B) + P(A_2) \cdot P_{A_2}(B) + \dots + P(A_k) \cdot P_{A_k}(B)$$
Carte 2 : À quelles conditions une variable aléatoire $X$ suit-elle une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ? ▼
1. L'expérience consiste en la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
2. Chaque épreuve a exactement 2 issues : Succès (probabilité $p$) et Échec (probabilité $1-p$).
3. $X$ compte le nombre total de succès obtenus au cours des $n$ épreuves.
2. Chaque épreuve a exactement 2 issues : Succès (probabilité $p$) et Échec (probabilité $1-p$).
3. $X$ compte le nombre total de succès obtenus au cours des $n$ épreuves.
Carte 3 : Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, quelle est la formule de $P(X = k)$ ? ▼
Pour tout entier $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ :
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
où $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
où $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial.
Carte 4 : Quelles sont l'Espérance $E(X)$ et la Variance $V(X)$ d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ? ▼
• Espérance : $E(X) = n \cdot p$
• Variance : $V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
• Variance : $V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$
Carte 5 : Comment caractériser l'indépendance de deux événements $A$ et $B$ ? ▼
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Ce qui équivaut (si $P(A) > 0$) à $P_A(B) = P(B)$.
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Ce qui équivaut (si $P(A) > 0$) à $P_A(B) = P(B)$.