🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Limites, Continuité & Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Asymptotes, théorèmes de comparaison, théorème des Gendarmes et corollaire du TVI au Bac.
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Carte 1 : Comment définir une asymptote verticale et une asymptote horizontale à la courbe d'une fonction $f$ ? ▼
• Asymptote Verticale d'équation $x = a$ :
$$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$$
• Asymptote Horizontale d'équation $y = L$ en $+\infty$ (ou $-\infty$) :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$
$$\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$$
• Asymptote Horizontale d'équation $y = L$ en $+\infty$ (ou $-\infty$) :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$
Carte 2 : Que énonce le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ? ▼
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que :
$$f(c) = k$$
$$f(c) = k$$
Carte 3 : Quel est le corollaire du TVI (Théorème de la Bijection) garantissant l'unicité de la solution ? ▼
Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution $\alpha \in [a, b]$.
Carte 4 : Que dit le Théorème des Gendarmes (Théorème d'encadrement) ? ▼
Soient $f, g, h$ trois fonctions telles que $g(x) \le f(x) \le h(x)$ au voisinage de $+\infty$.
Si $\lim_{x \to +\infty} g(x) = L$ et $\lim_{x \to +\infty} h(x) = L$, alors :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$
Si $\lim_{x \to +\infty} g(x) = L$ et $\lim_{x \to +\infty} h(x) = L$, alors :
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$
Carte 5 : Quelles sont les 4 Formes Indéterminées (FI) classiques en calcul de limites ? ▼
Les 4 formes indéterminées fondamentales sont :
$$\text{« } +\infty - \infty \text{ »}, \quad \text{« } 0 \times \infty \text{ »}, \quad \text{« } \frac{0}{0} \text{ »}, \quad \text{« } \frac{\infty}{\infty} \text{ »}$$
Pour les lever, on utilise la factorisation du terme dominant, les conjugués ou les croissances comparées.
$$\text{« } +\infty - \infty \text{ »}, \quad \text{« } 0 \times \infty \text{ »}, \quad \text{« } \frac{0}{0} \text{ »}, \quad \text{« } \frac{\infty}{\infty} \text{ »}$$
Pour les lever, on utilise la factorisation du terme dominant, les conjugués ou les croissances comparées.