🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Géométrie dans l'Espace (Vecteurs, Plans & Repères)
Produit scalaire 3D, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique de droite.
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Carte 1 : Qu'est-ce qu'un vecteur normal $\vec{n}$ à un plan $\mathcal{P}$ ? ▼
Un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ non nul est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur du plan $\mathcal{P}$.
Il suffit que $\vec{n}$ soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathcal{P}$.
Il suffit que $\vec{n}$ soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathcal{P}$.
Carte 2 : Quelle est la forme d'une équation cartésienne d'un plan dans l'espace ? ▼
Tout plan de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ admet une équation cartésienne de la forme :
$$a x + b y + c z + d = 0$$
où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ et $d \in \mathbb{R}$.
$$a x + b y + c z + d = 0$$
où $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ et $d \in \mathbb{R}$.
Carte 3 : Quelle est la représentation paramétrique d'une droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et dirigée par $\vec{u}(a, b, c)$ ? ▼
Pour tout point $M(x, y, z) \in \mathcal{D}$, il existe un réel $t \in \mathbb{R}$ tel que :
$$\begin{cases} x = x_0 + a \cdot t \\ y = y_0 + b \cdot t \\ z = z_0 + c \cdot t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
$$\begin{cases} x = x_0 + a \cdot t \\ y = y_0 + b \cdot t \\ z = z_0 + c \cdot t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$
Carte 4 : Comment montrer que deux plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont orthogonaux ? ▼
1. Identifier un vecteur normal $\vec{n}_1$ du plan $\mathcal{P}_1$ et un vecteur normal $\vec{n}_2$ du plan $\mathcal{P}_2$.
2. Calculer le produit scalaire $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2$.
3. Les plans sont orthogonaux si et seulement si :
$$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$$
2. Calculer le produit scalaire $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2$.
3. Les plans sont orthogonaux si et seulement si :
$$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$$
Carte 5 : Comment calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ dans un repère orthonormal de l'espace ? ▼
Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$$
Et la norme d'un vecteur est :
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$$
Et la norme d'un vecteur est :
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$