🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Géométrie dans l'Espace (Intersections & Projections)
Intersection droite/plan, projection orthogonale, distance d'un point à un plan et sphères 3D.
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Carte 1 : Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection $M$ entre une droite $\mathcal{D}$ et un plan $\mathcal{P}$ ? ▼
1. Injecter les équations de la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ ($x(t), y(t), z(t)$) dans l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ ($ax + by + cz + d = 0$).
2. Résoudre l'équation pour trouver la valeur du paramètre $t_0$.
3. Remplacer $t_0$ dans la représentation paramétrique pour obtenir $(x_M, y_M, z_M)$.
2. Résoudre l'équation pour trouver la valeur du paramètre $t_0$.
3. Remplacer $t_0$ dans la représentation paramétrique pour obtenir $(x_M, y_M, z_M)$.
Carte 2 : Qu'est-ce que le projeté orthogonal $H$ d'un point $A$ sur un plan $\mathcal{P}$ ? ▼
Le projeté orthogonal $H$ d'un point $A$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ avec la droite passant par $A$ et de vecteur directeur un vecteur normal $\vec{n}$ de $\mathcal{P}$.
Le segment $[AH]$ est la distance minimale entre $A$ et les points du plan $\mathcal{P}$.
Le segment $[AH]$ est la distance minimale entre $A$ et les points du plan $\mathcal{P}$.
Carte 3 : Quelle est la formule de la distance entre deux points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ dans un repère orthonormal de l'espace ? ▼
$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$
Carte 4 : À quelle condition deux droites de l'espace sont-elles orthogonales ? ▼
Deux droites de l'espace dirigées par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux :
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$
(Remarque : Deux droites orthogonales n'ont pas besoin d'être sécantes ! Si elles sont sécantes ET orthogonales, on dit qu'elles sont perpendiculaires).
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$
(Remarque : Deux droites orthogonales n'ont pas besoin d'être sécantes ! Si elles sont sécantes ET orthogonales, on dit qu'elles sont perpendiculaires).
Carte 5 : Quelle est l'équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de centre $\Omega(x_0, y_0, z_0)$ et de rayon $R > 0$ dans l'espace ? ▼
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$