🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Fonctions Exponentielle & Logarithme Népérien
Propriétés algébriques, dérivées et limites comparées des fonctions exp et ln au Bac.
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Carte 1 : Comment est définie la fonction logarithme népérien $\ln(x)$ ? ▼
La fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie, continue et strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
Pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ :
$$\ln(x) = y \iff e^y = x$$
Pour tout $x > 0$ et tout $y \in \mathbb{R}$ :
$$\ln(x) = y \iff e^y = x$$
Carte 2 : Quelles sont les dérivées des fonctions $e^{u(x)}$ et $\ln(u(x))$ ? ▼
Si $u$ est une fonction dérivable (et strictement positive pour $\ln$) :
$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
$$\left(\ln(u(x))\right)' = \frac{u'(x)}{u(x)}$$
$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
$$\left(\ln(u(x))\right)' = \frac{u'(x)}{u(x)}$$
Carte 3 : Quelles sont les limites par croissances comparées en $+\infty$ pour $e^x$ et $\ln(x)$ ? ▼
Pour tout entier $n > 0$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$$
(L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, et les puissances de $x$ l'emportent sur le logarithme !)
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$$
(L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de $x$, et les puissances de $x$ l'emportent sur le logarithme !)
Carte 4 : Quelles sont les propriétés algébriques clés du logarithme népérien ? ▼
Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :
• $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)$
• $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
• $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$
• $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$
• $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$
• $\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)$
• $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
• $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$
Carte 5 : Quelles sont les limites remarquables en $0$ et en $+\infty$ pour $\ln(x)$ et $e^x$ ? ▼
• $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
• Limite de taux de variation en 0 : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
• Limite de taux de variation en 0 : $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$