🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Dérivation, Primitives & Équations Différentielles
Tableaux des dérivées, primitives usuelles et résolution d'équations différentielles linéaire.
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Carte 1 : Quelle est la primitive générale des fonctions de la forme $u'(x) \cdot u(x)^n$ ($n \neq -1$) ? ▼
Une primitive de $u'(x) \cdot u(x)^n$ sur un intervalle approprié est :
$$F(x) = \frac{u(x)^{n+1}}{n+1} + C$$
$$F(x) = \frac{u(x)^{n+1}}{n+1} + C$$
Carte 2 : Quelles sont les solutions générales de l'équation différentielle $y' = a y + b$ ($a \neq 0$) ? ▼
Les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions de la forme :
$$f(x) = C \cdot e^{a x} - \frac{b}{a}$$
où $C$ est une constante réelle déterminée par la condition initiale.
$$f(x) = C \cdot e^{a x} - \frac{b}{a}$$
où $C$ est une constante réelle déterminée par la condition initiale.
Carte 3 : Quelle est la formule de dérivée du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)'$ ? ▼
Pour deux fonctions $u$ et $v$ dérivables avec $v(x) \neq 0$ :
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$$
$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$$
Carte 4 : Comment prouver qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ ? ▼
1. Vérifier que $F$ est dérivable sur l'intervalle $I$.
2. Calculer la dérivée $F'(x)$ et montrer que pour tout $x \in I$ :
$$F'(x) = f(x)$$
2. Calculer la dérivée $F'(x)$ et montrer que pour tout $x \in I$ :
$$F'(x) = f(x)$$
Carte 5 : Que traduit le signe de la dérivée seconde $f''(x)$ sur la convexité de $f$ ? ▼
• Si $f''(x) \ge 0$ sur $I$ : la fonction $f$ est convexe (la courbe est au-dessus de ses tangentes).
• Si $f''(x) \le 0$ sur $I$ : la fonction $f$ est concave (la courbe est sous ses tangentes).
• Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0$ : la courbe admet un point d'inflexion en $x_0$.
• Si $f''(x) \le 0$ sur $I$ : la fonction $f$ est concave (la courbe est sous ses tangentes).
• Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0$ : la courbe admet un point d'inflexion en $x_0$.