🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Dénombrement & Combinatoire
Principes additif et multiplicatif, p-listes, arrangements, permutations, coefficients binomiaux et Pascal.
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Carte 1 : Quelle est la définition de la factorielle d'un entier $n \in \mathbb{N}$ ($n!$) ? ▼
Pour tout entier $n \ge 1$ :
$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$$
Par convention : $0! = 1$.
$n!$ représente le nombre de permutations d'un ensemble de $n$ éléments distincts (façons d'ordonner $n$ objets).
$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$$
Par convention : $0! = 1$.
$n!$ représente le nombre de permutations d'un ensemble de $n$ éléments distincts (façons d'ordonner $n$ objets).
Carte 2 : Qu'est-ce qu'une combinaison et quelle est la formule du coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ? ▼
Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est un sous-ensemble non ordonné de $k$ éléments distincts choisis parmi $n$.
Formule :
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \dots \times 1}$$
Formule :
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \dots \times 1}$$
Carte 3 : Quelles sont les formules de symétrie et la formule du triangle de Pascal pour $\binom{n}{k}$ ? ▼
• Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
• Triangle de Pascal : Pour tous entiers $1 \le k \le n$ :
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$$
• Somme totale : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
• Triangle de Pascal : Pour tous entiers $1 \le k \le n$ :
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$$
• Somme totale : $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
Carte 4 : Quelle est la formule du Binôme de Newton $(a + b)^n$ ? ▼
Pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n \in \mathbb{N}$ :
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$
Exemple pour $n=3$ : $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$$
Exemple pour $n=3$ : $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Carte 5 : Comment différencier un tirage avec remise, sans remise ordonné, et sans remise non ordonné ? ▼
• Avec remise (Ordre compte) : $n^k$ $p$-listes.
• Sans remise (Ordre compte) : Arrangements $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
• Sans remise (Ordre NE compte PAS) : Combinaisons $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Sans remise (Ordre compte) : Arrangements $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
• Sans remise (Ordre NE compte PAS) : Combinaisons $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.