🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes

Convexité, Points d'Inflexion & Dérivée Seconde

Fonctions connexes, concaves, position relative par rapport aux tangentes et calcul des points d'inflexion.

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Carte 1 : Comment caractériser une fonction convexe et une fonction concave sur un intervalle $I$ ? ▼
• Fonction Convexe : Sa courbe est située entièrement au-dessus de ses tangentes sur $I$.
• Fonction Concave : Sa courbe est située entièrement au-dessous de ses tangentes sur $I$.
Carte 2 : Comment étudier la convexité d'une fonction $f$ à l'aide de sa dérivée seconde $f''$ ? ▼
• Si $f''(x) \ge 0$ sur $I$, la fonction $f$ est convexe sur $I$ (et $f'$ est croissante).
• Si $f''(x) \le 0$ sur $I$, la fonction $f$ est concave sur $I$ (et $f'$ est décroissante).
Carte 3 : Qu'est-ce qu'un point d'inflexion et comment le détecter algébriquement ? ▼
Un point d'inflexion est un point de la courbe où la tangente traverse la courbe (la fonction passe de convexe à concave ou inversement).
Caractérisation : $f''(x)$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe.
Carte 4 : Quelle est l'inégalité de convexité fondamentale pour la fonction exponentielle ? ▼
Puisque la fonction $x \mapsto e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$, sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$ ($y = x + 1$) :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x \ge x + 1$$
Carte 5 : Quelle est l'inégalité de concavité fondamentale pour la fonction logarithme népérien ? ▼
Puisque la fonction $x \mapsto \ln(x)$ est concave sur $]0 ; +\infty[$, sa courbe est au-dessous de sa tangente en $1$ ($y = x - 1$) :
$$\forall x > 0, \quad \ln(x) \le x - 1$$
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