🎴 Flashcards • Terminale 5 cartes
Calcul Intégral & Aires
Définition de l'intégrale, théorème fondamental, calcul de primitives, intégration par parties et propriétés.
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Carte 1 : Quelle est la définition de l'intégrale $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ d'une fonction continue $f$ ? ▼
Si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a, b]$ :
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Géométriquement, si $f(x) \ge 0$, cette intégrale représente l'aire sous la courbe de $f$ entre $x=a$ et $x=b$ (en unités d'aire).
$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$
Géométriquement, si $f(x) \ge 0$, cette intégrale représente l'aire sous la courbe de $f$ entre $x=a$ et $x=b$ (en unités d'aire).
Carte 2 : Quelle est la formule d'intégration par parties (IPP) ? ▼
Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables à dérivées continues sur $[a, b]$ :
$$\int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx = [u(x) v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx$$
$$\int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx = [u(x) v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx$$
Carte 3 : Quelle est la définition de la valeur moyenne $\mu$ d'une fonction $f$ sur $[a, b]$ ($a < b$) ? ▼
La valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ s'écrit :
$$\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$
$$\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$
Carte 4 : Quelles sont les propriétés de linéarité et de Chasles pour les intégrales ? ▼
• Chasles : $\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx$
• Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$
• Positivité : Si $a \le b$ et $f(x) \ge 0$, alors $\int_{a}^{b} f(x)dx \ge 0$.
• Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$
• Positivité : Si $a \le b$ et $f(x) \ge 0$, alors $\int_{a}^{b} f(x)dx \ge 0$.
Carte 5 : Comment calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ telles que $f(x) \ge g(x)$ ? ▼
L'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre $x=a$, $x=b$ et les courbes de $f$ et $g$ vaut :
$$\mathcal{A} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \quad (\text{en u.a.})$$
$$\mathcal{A} = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx \quad (\text{en u.a.})$$