🎴 Flashcards • 1ère 5 cartes
Polynômes du 2nd Degré & Équations
Forme canonique, discriminant $\Delta$, racines, factorisation et tableau de signe pour la 1ère Spé.
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Carte 1 : Quelle est l'expression du discriminant $\Delta$ pour le trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) et comment déterminer le nombre de racines ? ▼
Le discriminant est donné par :
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
• Si $\Delta < 0$ : Aucune racine réelle.
• Si $\Delta = 0$ : Une racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta > 0$ : Deux racines distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
$$\Delta = b^2 - 4ac$$
• Si $\Delta < 0$ : Aucune racine réelle.
• Si $\Delta = 0$ : Une racine double $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta > 0$ : Deux racines distinctes $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Carte 2 : Quelle est la forme canonique d'une fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ ? ▼
La forme canonique s'écrit :
$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$
avec :
$$\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$$
Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha ; \beta)$.
$$f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$$
avec :
$$\alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a}$$
Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(\alpha ; \beta)$.
Carte 3 : Quel est le signe du trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ sur $\mathbb{R}$ ? ▼
Le trinôme $f(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ à l'intérieur des racines (lorsque $\Delta > 0$).
Si $\Delta \le 0$, $f(x)$ est toujours du signe de $a$ (sauf en $x_0$ où il s'annule si $\Delta = 0$).
Si $\Delta \le 0$, $f(x)$ est toujours du signe de $a$ (sauf en $x_0$ où il s'annule si $\Delta = 0$).
Carte 4 : Comment factoriser le trinôme $ax^2 + bx + c$ selon le signe du discriminant $\Delta$ ? ▼
• Si $\Delta > 0$ : $a(x - x_1)(x - x_2)$
• Si $\Delta = 0$ : $a(x - x_0)^2$
• Si $\Delta < 0$ : Le trinôme n'est pas factorisable dans $\mathbb{R}$.
• Si $\Delta = 0$ : $a(x - x_0)^2$
• Si $\Delta < 0$ : Le trinôme n'est pas factorisable dans $\mathbb{R}$.
Carte 5 : Quelles sont les formules de la somme $S = x_1 + x_2$ et du produit $P = x_1 \times x_2$ des racines d'un trinôme ? ▼
Pour tout trinôme possédant deux racines $x_1$ et $x_2$ :
$$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
$$P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$
$$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$
$$P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$