🎴 Flashcards • 1ère 5 cartes
Produit Scalaire & Géométrie Vectorielle
Formules du produit scalaire, orthogonalité, théorème d'Al-Kashi et équations cartésiennes de droites.
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Carte 1 : Quelles sont les 3 expressions principales du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ? ▼
1. Forme trigonométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$
2. Forme repérée (dans un repère orthonormé) : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$
3. Forme projetée : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH$ ($H$ étant le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$).
2. Forme repérée (dans un repère orthonormé) : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$
3. Forme projetée : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AH$ ($H$ étant le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$).
Carte 2 : Quelle est la condition d'orthogonalité de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ? ▼
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :
$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff x x' + y y' = 0$$
$$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff x x' + y y' = 0$$
Carte 3 : En quoi consiste le Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) dans un triangle $ABC$ ? ▼
Dans tout triangle $ABC$ avec $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$ :
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$$
(Ce théorème généralise le théorème de Pythagore aux triangles quelconques !)
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$$
(Ce théorème généralise le théorème de Pythagore aux triangles quelconques !)
Carte 4 : Quelle est l'équation cartésienne d'une droite et comment lire un vecteur normal ? ▼
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme :
$$ax + by + c = 0 \quad ((a,b) \neq (0,0))$$
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite, et $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur.
$$ax + by + c = 0 \quad ((a,b) \neq (0,0))$$
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à la droite, et $\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur.
Carte 5 : Quelle est l'équation d'un cercle de centre $\Omega(x_0, y_0)$ et de rayon $R$ ? ▼
Un point $M(x,y)$ appartient au cercle de centre $\Omega(x_0, y_0)$ et de rayon $R$ si et seulement si :
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$
$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$